Первая аксиома счётности

[Dave]

Приведите пример сепарабельного топологического пространства, не удовлетворяющего первой аксиоме счётности, но удовлетворяющего аксиоме отделимости Хаусдорфа ($T_2$).

[hippie]

$\beta\mathbb{N}.$

[hippie]

Хаусдорфово пространство сепарабельно, удовлетворяет первой аксиоме счётности и не содержит более чем счётных дискретных подпространств. Обязательно ли оно удовлетворяет второй аксиоме счётности?

[Dave]

hippie в сообщении #569281 писал(а):

$\beta\mathbb{N}.$

Это что такое? Бикомпактное расширение Стоуна - Чеха пространства натуральных чисел? Почему оно удовлетворяет требуемым условиям?

[Padawan]

Dave
Потому что это общеизвестно Сепарабельность и хаусдорфовость понятны. Покажем, что ни в какой точке $x_0\in\beta\mathbb N\setminus\mathbb N$ нет счетного базиса. Если бы такой был, то из того, что $x_0$ является предельной точкой для $\mathbb N$, следовало бы, что существует последовательность $\{n_k\}\subset\mathbb N$, сходящаяся к $x_0$. Возьмем функцию $f\colon\mathbb N\to\mathbb R$ -- $f(m)=0$ при $m\not\in\{n_k\}$, $f(n_k)=(-1)^k$, она должна продолжаться до непрерывной функции на всем $\beta\mathbb N$. Но тогда должен бы был существовать предел $\lim\limits_{k\to\infty} f(n_k)=f(x_0)$. А этого предела не существует. Противоречие.

[Dave]

Приведите пример хаусдорфова пространства счётной мощности, не удовлетворяющего первой аксиоме счётности.

[hippie]

Получается из предыдущего.

Возьмём в $\beta\mathbb{N}$ подпространство $\mathbb{N} \cup \{ x \}$ (где $x\in \beta\mathbb{N}\setminus \mathbb{N}$).
Оно счётно (очевидно), хаусдорфово (и даже нормально, что сразу следует из того, что любое множество, не содержащее точку $x,$ в этом пространстве открыто).
Доказательство отсутствия первой аксиомы счётности полностью повторяет рассуждения Padawan.

[Dave]

Приведите пример хаусдорфова пространства счётной мощности, ни в какой точке не имеющего счётной базы окрестностей.

[hippie]

Получается из предыдущего примера. Обозначим пространство из предыдущего примера $A.$

Искомое пространство состоит из последовательностей $(a_n)_{n=1}^\infty$ в которых все $a_n\in A$ и при этом только конечное число $a_n\in\mathbb{N}.$ Топология на нём индуцирована тихоновским произведением $A^\mathbb{N}.$
Очевидно, что построенное пространство счётно и хаусдорфово (и даже тихоновское, как подпространство тихоновского).
Для любой точки $\xi=(a_n)_{n=1}^\infty$ найдётся номер $n,$ такой, что $a_n=x.$ Рассмотрим подпространство, состоящее из последовательностей отличающихся от $\xi$ только в $n$-ном элементе. В этом подпространстве точка $\xi$ предельная, но к ней не сходится ни одна последовательность, состоящая из точек отличных от $\xi.$ Следовательно, в этой точке нет счётной базы.