Приключения многоугольника (Турнир Городов, усложнение)

[Ktina]

У нас есть произвольный многоугольник, длины сторон которого равны $x_1, x_2, \dots , x_n$, а периметр равен $P$.

Рассмотрим сумму

$$\frac{x_1}{P-x_1}+\frac{x_2}{P-x_2}+\dots +\frac{x_n}{P-x_n}$$

Описать множество всех значений, которые может принимать эта сумма.

[TOTAL]

$$\frac{x_1}{P}+\frac{x_2}{P}+\dots +\frac{x_n}{P} <\frac{x_1}{P-x_1}+\frac{x_2}{P-x_2}+\dots +\frac{x_n}{P-x_n} < \frac{2x_1}{P}+\frac{2x_2}{P}+\dots +\frac{2x_n}{P}$$

поэтому между 1 и 2

[Ktina]

TOTAL в сообщении #570002 писал(а):

$$\frac{x_1}{P}+\frac{x_2}{P}+\dots +\frac{x_n}{P} <\frac{x_1}{P-x_1}+\frac{x_2}{P-x_2}+\dots +\frac{x_n}{P-x_n} < \frac{2x_1}{P}+\frac{2x_2}{P}+\dots +\frac{2x_n}{P}$$

поэтому между 1 и 2

На Турнире Городов как раз это и просили. А именно, доказать, что данная сумма всегда меньше 2.
Вот оригинальный текст задачи:
Имеется многоугольник. Для каждой стороны поделим её длину на сумму длин всех остальных сторон. Затем сложим все получившиеся дроби. Докажите, что полученная сумма будет всегда меньше 2.
Но в данном виде задача не совсем соответствует уровню Турнира Городов (тем паче, сложному варианту).
Интереснее доказать, что эта сумма может принимать любое значение в интервале $(1, 2)$.

[TOTAL]

Например, стороны равны: $1,1, \cdots, 1, \omega, \;\;\; 0 < \omega \le 1$

[Edward_Tur]

TOTAL в сообщении #570013 писал(а):

Например, стороны равны: $1,1, \cdots, 1, \omega, \;\;\; 0 < \omega \le 1$

Это для 1.
А для 2 можно взять $1,1, \cdots, 1, \omega, \omega, \;\;\; \omega > 1$

[TOTAL]

Edward_Tur в сообщении #570039 писал(а):

TOTAL в сообщении #570013 писал(а):

Например, стороны равны: $1,1, \cdots, 1, \omega, \;\;\; 0 < \omega \le 1$

Это для 1.
А для 2 можно взять $1,1, \cdots, 1, \omega, \omega, \;\;\; \omega > 1$

Это и для 2 тоже: $1,1, \omega, \;\;\; 0 < \omega \le 1$