2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Приключения многоугольника (Турнир Городов, усложнение)
Сообщение12.05.2012, 11:14 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
У нас есть произвольный многоугольник, длины сторон которого равны $x_1, x_2, \dots , x_n$, а периметр равен $P$.

Рассмотрим сумму $$\frac{x_1}{P-x_1}+\frac{x_2}{P-x_2}+\dots +\frac{x_n}{P-x_n}$$

Описать множество всех значений, которые может принимать эта сумма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приключения многоугольника (Турнир Городов, усложнение)
Сообщение12.05.2012, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
$$\frac{x_1}{P}+\frac{x_2}{P}+\dots +\frac{x_n}{P}
<\frac{x_1}{P-x_1}+\frac{x_2}{P-x_2}+\dots +\frac{x_n}{P-x_n} < 
\frac{2x_1}{P}+\frac{2x_2}{P}+\dots +\frac{2x_n}{P}$$
поэтому между 1 и 2

 Профиль  
                  
 
 Re: Приключения многоугольника (Турнир Городов, усложнение)
Сообщение12.05.2012, 13:09 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
TOTAL в сообщении #570002 писал(а):
$$\frac{x_1}{P}+\frac{x_2}{P}+\dots +\frac{x_n}{P}
<\frac{x_1}{P-x_1}+\frac{x_2}{P-x_2}+\dots +\frac{x_n}{P-x_n} < 
\frac{2x_1}{P}+\frac{2x_2}{P}+\dots +\frac{2x_n}{P}$$
поэтому между 1 и 2

На Турнире Городов как раз это и просили. А именно, доказать, что данная сумма всегда меньше 2.
Вот оригинальный текст задачи:
Имеется многоугольник. Для каждой стороны поделим её длину на сумму длин всех остальных сторон. Затем сложим все получившиеся дроби. Докажите, что полученная сумма будет всегда меньше 2.
Но в данном виде задача не совсем соответствует уровню Турнира Городов (тем паче, сложному варианту).
Интереснее доказать, что эта сумма может принимать любое значение в интервале $(1, 2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приключения многоугольника (Турнир Городов, усложнение)
Сообщение12.05.2012, 13:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
Например, стороны равны: $1,1, \cdots, 1, \omega, \;\;\; 0 < \omega \le 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Приключения многоугольника (Турнир Городов, усложнение)
Сообщение12.05.2012, 14:47 
Заслуженный участник


03/12/07
379
Україна
TOTAL в сообщении #570013 писал(а):
Например, стороны равны: $1,1, \cdots, 1, \omega, \;\;\; 0 < \omega \le 1$
Это для 1.
А для 2 можно взять $1,1, \cdots, 1, \omega, \omega, \;\;\; \omega > 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Приключения многоугольника (Турнир Городов, усложнение)
Сообщение14.05.2012, 09:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
Edward_Tur в сообщении #570039 писал(а):
TOTAL в сообщении #570013 писал(а):
Например, стороны равны: $1,1, \cdots, 1, \omega, \;\;\; 0 < \omega \le 1$
Это для 1.
А для 2 можно взять $1,1, \cdots, 1, \omega, \omega, \;\;\; \omega > 1$

Это и для 2 тоже: $1,1,  \omega, \;\;\; 0 < \omega \le 1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group