2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство
Сообщение12.05.2012, 02:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5840
Существует ли связное хаусдорфово топологическое пространство со счетным числом элементов?

Ответ знаю, решение видел, но не уверен, что восстановлю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство
Сообщение13.05.2012, 06:12 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Счётное - это счётное бесконечное или не более чем счётное?

Если "не более чем", то одноэлементное пространство удовлетворяет всем условиям :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство
Сообщение13.05.2012, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5840
Счетное бесконечное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство
Сообщение13.05.2012, 12:53 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Я так и подумал. С конечными всё больно просто получается.

Ясно, что $T_3$-пространство не существует. Однако нам надо не $T_3$, а $T_2$. Будем думать :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство
Сообщение13.05.2012, 12:58 
Заслуженный участник


13/12/05
3877
Профессор Снэйп
Почему $T_3$ не существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство
Сообщение13.05.2012, 13:09 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Padawan в сообщении #570261 писал(а):
Профессор Снэйп
Почему $T_3$ не существует?

Ну как... Возьмём открытое непустое $U$, не равное всему пространству. Теперь для каждого $x \not\in U$ возьмём $V_x$ - открытую окрестность $x$, для которой $V_x \cap U = \varnothing$. Теперь пусть $V = \bigcup_{x \not\in U} V_x$. Получаем, что $V$ есть открытое непустое дополнение $U$; следовательно, пространство не связно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство
Сообщение13.05.2012, 13:37 
Заслуженный участник


13/12/05
3877
Профессор Снэйп
Прочитайте определение $T_3$ пространства. А то у Вас получается, что любое $T_3$ несвязно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство
Сообщение13.05.2012, 13:43 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Padawan в сообщении #570285 писал(а):
Профессор Снэйп
Прочитайте определение $T_3$ пространства. А то у Вас получается, что любое $T_3$ несвязно.

Попутал, каюсь :oops: Для отделимости в $T_3$ множество $U$ должно быть не открыто, а замкнуто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство
Сообщение13.05.2012, 14:04 
Заслуженный участник


13/12/05
3877
В книжке Steen L. A., Seebach J. A. Counterexamples in Topology есть по крайней мере два примера. Вот один из них http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_integer_topology. Оба эти примера не $T_3$, к сожалению. Может $T_3$-пространство с такими свойствами и в правду не существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство
Сообщение13.05.2012, 14:19 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Связного счётного $T_3$ пространства действительно не существует.
Счётное регулярное пространство нормально (см., например, Р.Энгелькинг "Общая топология", стр.79, Th1.5.16), и, следовательно, тихоновское. Но тихоновское пространство, содержащее более одной точки, сюръективно отображается на отрезок, и, следовательно, содержит не менее континуума точек.

В Энгелькинге также есть пример связного счётного хаусдорфова пространства: стр.518–519, пример 6.1.6.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство
Сообщение13.05.2012, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5840
hippie в сообщении #570295 писал(а):
В Энгелькинге также есть пример связного счётного хаусдорфова пространства: стр.518–519, пример 6.1.6.


Спасибо!

Правильно я понял, что из сказанного следует, что оно не может быть метризуемым?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство
Сообщение13.05.2012, 21:50 
Заслуженный участник


18/01/12
933
g______d в сообщении #570378 писал(а):
Правильно я понял, что из сказанного следует, что оно не может быть метризуемым?

Конечно, правильно!

Метризуемое пространство всегда тихоновское.
hippie в сообщении #570295 писал(а):
Но связное тихоновское пространство, содержащее более одной точки, сюръективно отображается на отрезок, и, следовательно, содержит не менее континуума точек.


:oops: В прошлом сообщении я пропустил слово "связное", из-за чего утверждение выглядело, мягко говоря, странно! :shock: :oops:
Сейчас исправляю ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство
Сообщение14.05.2012, 04:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
См. также задачу №353 на стр. 172, 226 в книге А.В.Архангельского и В.И.Пономарёва "Основы общей топологии в задачах и упражнениях".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group