Связное счетное хаусдорфово топологическое пространство

[g______d]

Существует ли связное хаусдорфово топологическое пространство со счетным числом элементов?

Ответ знаю, решение видел, но не уверен, что восстановлю.

[Профессор Снэйп]

Счётное - это счётное бесконечное или не более чем счётное?

Если "не более чем", то одноэлементное пространство удовлетворяет всем условиям

[g______d]

Счетное бесконечное.

[Профессор Снэйп]

Я так и подумал. С конечными всё больно просто получается.

Ясно, что $T_3$-пространство не существует. Однако нам надо не $T_3$, а $T_2$. Будем думать

[Padawan]

Профессор Снэйп
Почему $T_3$ не существует?

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #570261 писал(а):

Профессор Снэйп
Почему $T_3$ не существует?

Ну как... Возьмём открытое непустое $U$, не равное всему пространству. Теперь для каждого $x \not\in U$ возьмём $V_x$ - открытую окрестность $x$, для которой $V_x \cap U = \varnothing$. Теперь пусть $V = \bigcup_{x \not\in U} V_x$. Получаем, что $V$ есть открытое непустое дополнение $U$; следовательно, пространство не связно.

[Padawan]

Профессор Снэйп
Прочитайте определение $T_3$ пространства. А то у Вас получается, что любое $T_3$ несвязно.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #570285 писал(а):

Профессор Снэйп
Прочитайте определение $T_3$ пространства. А то у Вас получается, что любое $T_3$ несвязно.

Попутал, каюсь Для отделимости в $T_3$ множество $U$ должно быть не открыто, а замкнуто.

[Padawan]

В книжке Steen L. A., Seebach J. A. Counterexamples in Topology есть по крайней мере два примера. Вот один из них http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_integer_topology. Оба эти примера не $T_3$, к сожалению. Может $T_3$-пространство с такими свойствами и в правду не существует?

[hippie]

Связного счётного $T_3$ пространства действительно не существует.
Счётное регулярное пространство нормально (см., например, Р.Энгелькинг "Общая топология", стр.79, Th1.5.16), и, следовательно, тихоновское. Но тихоновское пространство, содержащее более одной точки, сюръективно отображается на отрезок, и, следовательно, содержит не менее континуума точек.

В Энгелькинге также есть пример связного счётного хаусдорфова пространства: стр.518–519, пример 6.1.6.

[g______d]

hippie в сообщении #570295 писал(а):

В Энгелькинге также есть пример связного счётного хаусдорфова пространства: стр.518–519, пример 6.1.6.

Спасибо!

Правильно я понял, что из сказанного следует, что оно не может быть метризуемым?

[hippie]

g______d в сообщении #570378 писал(а):

Правильно я понял, что из сказанного следует, что оно не может быть метризуемым?

Конечно, правильно!

Метризуемое пространство всегда тихоновское.

hippie в сообщении #570295 писал(а):

Но связное тихоновское пространство, содержащее более одной точки, сюръективно отображается на отрезок, и, следовательно, содержит не менее континуума точек.

В прошлом сообщении я пропустил слово "связное", из-за чего утверждение выглядело, мягко говоря, странно!
Сейчас исправляю ошибку.

[Dave]

См. также задачу №353 на стр. 172, 226 в книге А.В.Архангельского и В.И.Пономарёва "Основы общей топологии в задачах и упражнениях".