Задачи из Математического Просвещения №15 (2011)

[RIP]

maxal в сообщении #567325 писал(а):

2. Может ли сумма двух периодических функций с наименьшими периодами $1$ и $\sqrt{2}$ снова быть периодической функцией, отличной от константы?

Интересно: а каков ответ для измеримых функций?

[Руст]

Разве не годится функции $f(x),g(x)$ равные нули если $x\not =\frac{m+n\sqrt 2}{2}, m,n\in Z$.
Определим в этих точках $f(\frac{m+n\sqrt 2}{2})=(-1)^m, g(\frac{m+n\sqrt 2}{2})=(-1)^n.$
Придумал сходу за 30 сек.
Не подходит, минимальных периодов нет. По видимому надо брать ненулевые значения пошире.

[Руст]

Легко можно исправить. Пусть $f(x)=0,g(x)=0,x\not =m+n\sqrt 2, m,n\in Z$
$f(m+n\sqrt 2)=n, g(m+n\sqrt 2)=m$, тогда периоды равны $1,\sqrt 2$, а период $f(x)+g(x)$ равен $\sqrt 2-1.$