Пределы двух выражений

[Апис]

Правильно ли я думаю, что пределы (если они есть) этих двух выражений равны.
(p_n) - простое число
(n) - номер простого числа

$\frac{{{{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^2}}}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}(1)$

$\frac{{{{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^2}}}{{1 + \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}(2)$

[Sonic86]

Для ответа на вопрос используйте теорему Мертенса $\prod\limits_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{p_k}\right)\sim\frac{e^{-\gamma}}{\ln n}$

[vorvalm]

Не совсем точно. У Мертенса: $\prod_{p<x}(1-1/p)\sim e^{-\gamma}/\ln x$

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #569972 писал(а):

Не совсем точно. У Мертенса: $\prod_{p<x}(1-1/p)\sim e^{-\gamma}/\ln x$

Это эквивалентное утверждение.

[vorvalm]

Да, но лучше придерживаться первоисточника.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #569959 писал(а):

$\prod\limits_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{p_k}\right)\sim\frac{e^{-\gamma}}{\ln n}$

Значит предел этого произведения равен 0, также как и если вместо $P_n$ подставить просто n. Значит плотность простых чисел в этом смысле сравнима с плотностью натуральных чисел?

[Апис]

Sonic86 в сообщении #569959 писал(а):

Для ответа на вопрос используйте теорему Мертенса $\prod\limits_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{p_k}\right)\sim\frac{e^{-\gamma}}{\ln n}$

Зачем? Разве нельзя ничего сказать, оставив выражения в том виде, в котором они представлены. Если есть подобие, почему одно предпочтительнее другого

[Sonic86]

Апис в сообщении #570047 писал(а):

Зачем?

Затем, что так можно найти ответ на вопрос

Апис в сообщении #569957 писал(а):

Правильно ли я думаю, что пределы (если они есть) этих двух выражений равны.

vicvolf в сообщении #570000 писал(а):

предел этого произведения равен 0, также как и если вместо $P_n$ подставить просто n.

ну да

vicvolf в сообщении #570000 писал(а):

Значит плотность простых чисел в этом смысле сравнима с плотностью натуральных чисел?

В этом смысле да, однако я не знаю, зачем такой смысл нужен - в первый раз его вижу.

[Апис]

vicvolf в сообщении #570000 писал(а):

предел этого произведения равен 0, также как и если вместо $P_n$ подставить просто n.

ну да
Если подставить (n) вместо (p_n) произведение будет равно 1/n. Значит $\prod\limits_{k = 1}^n {(1 - \frac{1}{{{p_k}}}) \sim \frac{1}{n}} $
Как вы думаете, это верно

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #570080 писал(а):

vicvolf в сообщении #570000 писал(а):

Значит плотность простых чисел в этом смысле сравнима с плотностью натуральных чисел?

В этом смысле да, однако я не знаю, зачем такой смысл нужен - в первый раз его вижу.

В том смысле, что если вместо $p_n$ подставить в произведение $n^{1+\epsilon}$ (вместо n), то предел произведения будет уже не равен 0.
Следовательно, плотность подпоследовательности $n^{1+\epsilon}$ в этом смысле уже меньше последовательности простых чисел.
Подпоследовательность $n^{1+\epsilon}$ отличается от последовательности натуральных чисел в степени на б.м.в. и уже не сравнима по плотности с натуральным рядом, а последовательность простых чисел по плотности сравнима с натуральным рядом. Т.е при переходе от простых чисел к натуральному ряду не происходит скачок плотности подпоследовательности, а при переходе от натурального ряда к подпоследовательности $n^{1+\epsilon}$ происходит скачок плотности. Разве не интересно?

[Апис]

Цитата:

В том смысле, что если вместо $p_n$ подставить в произведение $n^{1+\epsilon}$ (вместо n)

Можно поступить иначе и проще. Для любого числа (k) верно следующее утверждение $\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} > \frac{1}{k} > \prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ Значит если мы в двух выше приведённых выражениях заменим $\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ на $\frac{1}{k}$ это будет допустимо для нахождения пределов выражений?

[Toucan]

Переехали в учебный раздел.

[Апис]

Предварительный результат
$\frac{{p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} = m$
Значение (m) это конец интервала (0,m)
$p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ Эта формула даёт, количество составных чисел на интервале (0,m), и так же количество простых чисел на интервале $\left( {0,p_n^2} \right)$
По количеству составных чисел на меньшем интервале узнаём, сколько простых чисел на большем интервале. Прямым подсчётом табличных результатов. Конечно, это предварительный результат и дьявол как всегда скрывается в деталях. Но какой красивый подход к проблеме.

[Sonic86]

Апис в сообщении #570929 писал(а):

Предварительный результат
$\frac{{p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} = m$
Значение (m) это конец интервала (0,m)

Это некорректное утверждение: исходное выражение от $m$ не зависит, а итоговое - зависит.
У Вас получится просто действительное число, его можно явно выписать, без новых обозначений - просто тупо примените теорему Мертенса и все.

[Апис]

Цитата:

просто тупо примените теорему Мертенса и все

Я стараюсь уйти от тупого применения формул, которые дают результат с неизвестной погрешностью вычисления.
У вас есть формула которая даёт более точное значение (m) предъявите. Сравним. Проверим.