Демидович съел мой мозг

[Sonic86]

DTF в сообщении #569796 писал(а):

$\lim\frac{a_n}{b_n} = 1$ следует $\sum{f(a_n)} = \sum{f(b_n)}$ ?

Да, так как $\lim\frac{a_n}{b_n}=1\Rightarrow\lim\frac{f(a_n)}{f(b_n)}=1$. Только суммы рядов не равны. Равны лишь их сходимости.

DTF в сообщении #569796 писал(а):

А где можно посмотреть доказательство? Я Вам верю, просто хочу суть понимать...

В Фихтенгольце есть наверняка... Это следует из признака сравнения: $a_n\sim b_n$, значит для любого $\varepsilon >0$ при достаточно большом $n$ будет $(1-\varepsilon)a_n\leqslant b_n\leqslant(1+\varepsilon)a_n$, откуда из сходимости одного ряда выводим сходимость другого и наоборот (меняем местами $a_n,b_n$)

[DTF]

Sonic86 в сообщении #569799 писал(а):

Только суммы рядов не равны. Равны лишь их сходимости.

что это означает? что они либо вместе сходятся, либо вместе расходятся?

[Sonic86]

DTF в сообщении #569822 писал(а):

что это означает? что они либо вместе сходятся, либо вместе расходятся?

да

[DTF]

Так.. вроде бы все складывается в моем съеденном Демидовичем мозгу...
основной проблемой было незнание эквивалентности логарифма и
возможности замен под знаком суммы.

Сейчас родилось вот такое решение:
$\sum\limits_{n=2}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{p}\ln\frac{n-1}{n+1}\ = \ \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{p}}\ln(1-\frac{2}{n+1})\ \sim \ \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^p} \ =$

$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{1+\frac{p}{2}}(1 + \sqrt{1 + \frac{n}{n+1}})^p} \ \sim \ \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{1+\frac{p}{2}}}$

Этот ряд сходится при p > 0, что совпадает с ответом :)
У меня верные рассуждения?

[ewert]

ну наконец-то. Константы подкачали, правда, но они особо и не нужны.

[DTF]

Константы я специально выкинул - они не влияют на сходимость.

Спасибо за помощь!!!

Кстати, а ведь, наверное, есть более-менее стандартный набор эквивалентных
функций, которые используются в задачах на пределы и суммы рядов?

-- 11.05.2012, 22:49 --

И еще такой вопрос:
Пусть известно, что $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$

Означает ли это, что
$\sum\frac{1}{f(x) + q(x)} \sim \sum\frac{1}{g(x) + q(x)}$

Вроде бы да, т.к. остатки мало отличаются при больших n... я прав?

[Sonic86]

DTF в сообщении #569884 писал(а):

$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{1+\frac{p}{2}}(1 + \sqrt{1 + \frac{n}{n+1}})^p} \ \sim \ \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{1+\frac{p}{2}}}$

Вообще-то писать $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \sim\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ бессмысленно - слева и справа стоят либо числа, либо что угодно, но не функции. Можно писать $\sum\limits_{k=1}^{n} a_k \sim\sum\limits_{k=1}^{n} b_k$ (здесь уже не числа, а последовательности, неопределенные суммы, аналоги неопределенных интегралов) и тогда это действительно следует из $a_k\sim b_k$.
Либо следует говорить, что $\sim$ для обычных рядов означает одинаковость сходимостей.

DTF в сообщении #569895 писал(а):

Кстати, а ведь, наверное, есть более-менее стандартный набор эквивалентных
функций, которые используются в задачах на пределы и суммы рядов?

Конечно. Этот набор - обычный набор эквивалентностей функций.

DTF в сообщении #569895 писал(а):

Пусть известно, что $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$

Означает ли это, что
$\sum\frac{1}{f(x) + q(x)} \sim \sum\frac{1}{g(x) + q(x)}$

Да, это просто частный случай предельного признака сравнения.

[DTF]

Sonic86 писал(а):

DTF писал(а):

Кстати, а ведь, наверное, есть более-менее стандартный набор эквивалентных
функций, которые используются в задачах на пределы и суммы рядов?

Конечно. Этот набор - обычный набор эквивалентностей функций.

:)
Я имел в виду, перечислены ли они где-нибудь явно и в одном месте, чтобы их
можно было посмотреть и запомнить?

[Sonic86]

DTF в сообщении #569950 писал(а):

:)
Я имел в виду, перечислены ли они где-нибудь явно и в одном месте, чтобы их
можно было посмотреть и запомнить?

Не, ну я имею ввиду обычную таблицу :
$\sin x \sim x$
$\tg x \sim x$
$\ln (1+x) \sim x$
$a_nx^n+...+a_0 \sim a_nx^n$
и так далее - Вы же ее наверняка помните.
Вот, например, нагуглил: http://www.mathauto.ru/calc/bm.htm

[Алексей К.]

Sonic86, а почему Вы нам синус представили самой большой слагаемой $(x)$, а полином --- самой маленькой, самой вшивой, самой ничтожной $(x^n)?$

Sonic86 в сообщении #569952 писал(а):

Не, ну я имею ввиду обычную таблицу :
$\sin x \sim x$
........
$a_nx^n+...+a_0 \sim a_nx^n$

[Sonic86]

Точнее так:
$x\to 0\Rightarrow \sin x\sim x$
$x\to\infty\Rightarrow a_nx^n+...+a_0 \sim a_nx^n$