Верна ли "теорема"?

[Ktina]

Студентка Чреззаборчтототамова придумала теорему:

Для каждого натурального $n$, не кратного 10, существует натуральное $m$ (кратное $n$), все десятичные цифры которого идут в неубывающем порядке.

Верна ли эта теорема?

[hippie]

Ответ: нет.

Например, при $n=625.$

[Ktina]

hippie в сообщении #567714 писал(а):

Ответ: нет.

Например, при $n=625.$

Я тоже именно это число использовала в решении. Посему, задалась вопросом: а что если к условию добавить "и не кратного 5"?

[hippie]

Ещё один интересный вариант, $n$ нечётное, но не кратное 625.
Просто кратности $n$ 125 недостаточно. Но, кажется, для этого случая уже нашёл подходящее $n.$
И, похоже, что если требовать чтобы $n$ (нечётное) не было кратно 125, то нужное $m$ существует всегда.

[Ktina]

hippie в сообщении #567724 писал(а):

Ещё один интересный вариант, $n$ нечётное, но не кратное 625.
Просто кратности $n$ 125 недостаточно. Но, кажется, для этого случая уже нашёл подходящее $n.$
И, похоже, что если требовать чтобы $n$ (нечётное) не было кратно 125, то нужное $m$ существует всегда.

Самое лёгкое - когда не кратно ни двум, ни пяти. Тогда задача сводится к уже известной ("первоклассник Петя знает только цифру 1, сможет ли он написать число, кратное 2011?").

[hippie]

Ktina в сообщении #567725 писал(а):

Самое лёгкое - когда не кратно ни двум, ни пяти.

Этот случай, как раз, очевидный. Поэтому я сразу и рассматривал кратность степеням пятёрки.

=================================================================

Похоже, удалось доказать существование степени двойки, такой, что у числа (отличное от 0) кратного ей последовательность цифр не может быть неубывающей. Хотя, даже приблизительно, оценить показатель этой степени сходу не могу.

[Ktina]

hippie в сообщении #567724 писал(а):

Ещё один интересный вариант, $n$ нечётное, но не кратное 625.
Просто кратности $n$ 125 недостаточно. Но, кажется, для этого случая уже нашёл подходящее $n.$

Что-то, покамест, не нахожу такого.

[hippie]

Нашлись даже не кратные 125.
Например: 275.

[hippie]

Ktina в сообщении #567715 писал(а):

hippie в сообщении #567714 писал(а):

Например, при $n=625.$

Я тоже именно это число использовала в решении. Посему, задалась вопросом: а что если к условию добавить "и не кратного 5"?

Компьютерный перебор показал, что число, все десятичные цифры которого идут в неубывающем порядке, не может быть кратным $2^{22}.$
(Для $2^{21}$ существует 2 таких числа: 112222333344677888 и 12223333334555557888.)

Доказать существование нужной степени двойки можно и вручную, но в моём доказательстве есть один неприятный шаг.

[Ktina]

hippie в сообщении #568200 писал(а):

......но в моём доказательстве есть один неприятный шаг.

А в чём именно заключается правакацыя его "неприятность"?

(Оффтоп)

Могут ли вообще в математике (да и в любой другой науке) существовать неприятные моменты? Трудные - да, согласна, сплошь и рядом. Но вот неприятные... Хотя... это же субъективно...

[hippie]

Ktina в сообщении #568227 писал(а):

hippie в сообщении #568200 писал(а):

......но в моём доказательстве есть один неприятный шаг.

А в чём именно заключается правакацыя его "неприятность"?

(Оффтоп)

Могут ли вообще в математике (да и в любой другой науке) существовать неприятные моменты? Трудные - да, согласна, сплошь и рядом. Но вот неприятные... Хотя... это же субъективно...

(Оффтоп)

Однажды авиаконструктору Туполеву принесли проект очередного самолёта. Он, едва взглянув на него, сказал:
— Этот самолёт не полетит.
— Почему?
— Некрасивый самолёт — не полетит!

Когда другому авиаконструктору — Микулину — принесли проект очередного самолёта, он, немножко изучив его, сказал:
— Эта деталь в полёте сломается.
— Как сломается? Ведь были проделаны все расчёты! Она не может сломаться!!!
— Эта деталь некрасивая, она не будет работать.
(И деталь действительно сломалась, при первом же испытании самолёта!)

"Неприятное" решение это то, которое оставляет впечатление такой ломающейся детали.

В данном случае впечатление оказалось совершенно правильным, и у "неприятного шага" нашлось нормальное доказательство в 2 строчки.

[Ktina]

hippie в сообщении #568929 писал(а):

В данном случае впечатление оказалось совершенно правильным, и у "неприятного шага" нашлось нормальное доказательство в 2 строчки.

Подробности будут?

[hippie]

Ktina в сообщении #569075 писал(а):

Подробности будут?

Шаг, о котором я говорил, это доказательство утверждения:

Если к $k$-значному числу (возможно, начинающемуся с 0, но при этом не равному 0) слева приписать $l$ одинаковых цифр, то, при достаточно большом $l,$ получившееся число не будет кратно $2^{k+l}.$