Скорость сходимости последовательности

[Женисбек]

Как показать, что
$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2-\frac{t^4}{n}}dt=\sqrt{\pi}+O\left(\frac{1}{n}\right)$
?

[ewert]

В интеграле $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\left(1-e^{-\frac{t^4}{n}}\right)dt$ очень грубо оценить скобку первым членом формулы Тейлора сверху.

[Женисбек]

ewert в сообщении #569692 писал(а):

В интеграле $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\left(1-e^{-\frac{t^4}{n}}\right)dt$ очень грубо оценить скобку первым членом формулы Тейлора сверху.

Спасибо!
$1-e^{-\frac{t^4}{n}}<\frac{t^4}{n}\Rightarrow$
$\Rightarrow\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\left(1-\frac{t^4}{n}\right)dt<\frac{1}{n}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}t^4dt=\frac{2}{n}\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}t^4dt=\frac{2}{n}\left[\int_{0}^{10}e^{-t^2}t^4dt+\int_{10}^{+\infty}e^{-t^2}t^4dt\right]\le\frac{2}{n}\left[10^5+\int_{10}^{+\infty}e^{-t^2+t}dt\right]=A$

И поскольку $-t^2+t=-(t^2-2\frac12t+\frac14)+\frac14=-(t-\frac12)^2+\frac14$, имеем
$A=\frac{2}{n}\left[10^5+e^{\frac14}\int_{10}^{+\infty}e^{-(t-\frac12)^2}d(t-\frac12)\right]\le\frac{2(10^5+e^{\frac14}\frac{\sqrt{\pi}}{2})}{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$

[ewert]

Женисбек в сообщении #569737 писал(а):

$=\frac{2}{n}\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}t^4dt=\frac{2}{n}\left[\int_{0}^{10}e^{-t^2}t^4dt+\int_{10}^{+\infty}e^{-t^2}t^4dt\right]\le$

Начиная с этого момента и всё дальнейшее -- совершенно ни к чему: достаточно просто того, что этот интеграл сходится.

[Женисбек]

ewert, подскажите, пожалуйста:
Bерно ли, что для $z\in\matbb{C}, \Re(z)>0$
$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-z\left(t^2+\frac{t^4}{n}\right)}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{z}}+O\left(\frac1n\right)$
?

[Integrall]

Женисбек в сообщении #569794 писал(а):

Bерно ли, что для $z\in\matbb{C}, \Re(z)>0$
$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-z\left(t^2+\frac{t^4}{n}\right)}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{z}}+O\left(\frac1n\right)$

в чем проблема? Сделайте замену переменной в интеграле $u=\sqrt z t$ и разберитесь с путями интегрирования. Подсказка. Подинтегральная функция всюду аналитична, поэтому вычисления можно свести к предыдущему примеру.

[Женисбек]

Integrall в сообщении #570627 писал(а):

Женисбек в сообщении #569794 писал(а):

Bерно ли, что для $z\in\matbb{C}, \Re(z)>0$
$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-z\left(t^2+\frac{t^4}{n}\right)}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{z}}+O\left(\frac1n\right)$

в чем проблема? Сделайте замену переменной в интеграле $u=\sqrt z t$ и разберитесь с путями интегрирования. Подсказка. Подинтегральная функция всюду аналитична, поэтому вычисления можно свести к предыдущему примеру.

Честно говоря, я не могу понять даже как считать
$I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-zt^2}dt$
Если делать как вы предлагаете, то
$I=\frac{1}{\sqrt{z}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-zt^2}d(\sqrt{z}t)}$
Потом $u=\sqrt{z}t$, и я не знаю что происходит с пределами интегрирования

[ewert]

Дело не столько в пределах, сколько в пути интегрирования для новой переменной. Это будет соответствующим образом повёрнутая прямая на комплексной плоскости. И надо доказать, что её можно развернуть обратно в горизонтальное положение. Ну так подынтегральная функция на дугах окружностей, соединяющих эти прямые, экспоненциально стремится к нулю с увеличением радиуса.

[Integrall]

Женисбек в сообщении #571144 писал(а):

я не знаю что происходит с пределами интегрирования

знакомы вы с ТФКП (теория функции комплексного переменного)?

[Женисбек]

[under construction]

[Женисбек]

Integrall в сообщении #571535 писал(а):

знакомы вы с ТФКП (теория функции комплексного переменного)?

Был такой предмет на 2-ом курсе, но я его подзабыл . Вот пытаюсь разобраться.

Под $\sqrt{z}$ будем подразумевать значение с $\Re(\sqrt{z})\ge0$.

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-zt^2}dt=\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^{R}e^{-zt^2}dt=\{\sqrt{z}t=u\}=\frac{1}{\sqrt{z}}\lim_{R\to+\infty}\int_{-R\sqrt{z}}^{R\sqrt{z}}e^{-u^2}du=\frac{2}{\sqrt{z}}\underbrace{\lim_{R\to+\infty}\int_{0}^{R\sqrt{z}}e^{-u^2}du}_{I}$

Надо показать, что
$\displaystyle I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\quad (1)$

Поскольку функция $u\mapsto \exp(-u^2)$ всюду аналитична, интеграл от нее по замкнутому контуру равен нулю:
$\displaystyle \int_{0}^{R|\sqrt{z}|}e^{-x^2}dx+\underbrace{\int_{\gamma_R}e^{-u^2}du}_{J(R)}+\int_{R\sqrt{z}}^{0}e^{-u^2}du=0\quad (*)$



Т.к. на дуге $\displaystyle\gamma_R$ можно положить $u=Re^{i\phi},\ \phi\in[0,\phi_0]$, имеем
$\displaystyle J(R)=\int_{0}^{\phi_0}e^{-R^2e^{i2\phi}}Rie^{i\phi}d\phi=i\int_{0}^{\phi_0}e^{-R^2(\cos2\phi+i\sin2\phi)}}Re^{i\phi}d\phi$
и, следовательно,
$\displaystyle|J(R)|\le\int_{0}^{\phi_0}e^{-R^2\cos2\phi}Rd\phi\le\frac{R\phi_0}{e^{R^2cos2\phi_0}}\to0$ при $R\to+\infty\quad(**)$
(т.к. $cos2\phi_0=\frac{\Re(z)}{|z|}>0$).
С учетом $(**)$ переходя в $(*)$ к пределу при $R\to+\infty$, получим $(1)$.

Есть ли ошибки?

[ewert]

Вроде нет.

[Женисбек]

Integrall
ewert
Спасибо! Мне помогли ваши советы!