Изоморфизм групп

[farewe11]

Задача: доказать, что группа $SL_2 (Z/2Z)$ изоморфна группе $S_3$.
В группе $SL_2 (Z/2Z)$ - $3$ элемента, то есть порядок группы равен $3$.
Вспомним теорему Кэли: Любая конечная группа порядка $n$ изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы $S_n$.
Группа $S_3$ является подгруппой самой себя, верно ведь? В таком случае, получается, всё, что от меня требовалось - это доказать, что в группе $SL_2 (Z/2Z)$ - $3$ элемента (что легко проделать, посчитав определители матриц 2х2, содержащих только единицы и нули)? Где-то я ошибаюсь?

[Sonic86]

farewe11 в сообщении #569246 писал(а):

Задача: доказать, что группа $SL_2 (Z/2Z)$ изоморфна группе $S_3$.
В группе $SL_2 (Z/2Z)$ - $3$ элемента, то есть порядок группы равен $3$.

Вообще-то у изоморфных групп порядки должны совпадать, а $|S_3|=6$. Если же надо доказать, что $SL_2(\mathbb{Z}_3)$ изоморфна подгруппе $S_3$, то задача имеет смысл.

farewe11 в сообщении #569246 писал(а):

Группа $S_3$ является подгруппой самой себя, верно ведь? В таком случае, получается, всё, что от меня требовалось - это доказать, что в группе $SL_2 (Z/2Z)$ - $3$ элемента (что легко проделать, посчитав определители матриц 2х2, содержащих только единицы и нули)? Где-то я ошибаюсь?

Обоснования недостаточно. Во-первых, следует говорить о подгруппе $S_3$ мощности $3$ и вообще показать, что она есть. Далее, мы имеем $2$ группы одинаковой мощности, а отсюда не следует, что эти группы изоморфны (даже если одна из этих групп - подгруппа $S_3$). Конкретно для мощности $3$ эти группы изоморфны - надо объяснить почему.

[farewe11]

Sonic86 в сообщении #569251 писал(а):

Вообще-то у изоморфных групп порядки должны совпадать, а . Если же надо доказать, что изоморфна подгруппе , то задача имеет смысл.

Вот я об этом тоже задумался. Но условие дословно звучит так, как я написал: Доказать, что группа $SL_2(Z/2Z)$ изоморфна группе $S_3$. Что ж, мне не стоит и время тратить, ошибочное условие?

И, кстати, изоморфизм даже есть у меня уже. В $SL_2(Z/2Z)$ пронумеруем, для удобства, элементы, их три всего. Для каждого из элементов создадим отображение $L_a$: $L_1 = g\cdot<1>$, $L_2 = g\cdot<2>$, $L_3 = g\cdot<3>$
Где $g$ - это любые элементы нашей группы, а $<1>, <2>, <3>$ - это они же, только пронумерованные...
В общем, как выяснилось буквально только что, это и есть доказательство теоремы Кэли, оно есть в книге Журавлёва и Флёрова "Дискретный анализ", на 37й странице. Хороший пример, налицо у нас изоморфизм, вроде бы. Нет?

[Sonic86]

Ну как у Вас может быть изоморфизм групп из разного количества элементов? Как установить биекцию между трех- и шестиэлементным множеством?

farewe11 в сообщении #569254 писал(а):

И, кстати, изоморфизм даже есть у меня уже. В $SL_2(Z/2Z)$ пронумеруем, для удобства, элементы, их три всего. Для каждого из элементов создадим отображение $L_a$: $L_1 = g\cdot<1>$, $L_2 = g\cdot<2>$, $L_3 = g\cdot<3>$
Где $g$ - это любые элементы нашей группы, а $<1>, <2>, <3>$ - это они же, только пронумерованные...

Это Вы рассматриваете действием группы на себе. И записали бы нормально: $L_j(g)=gg_j$. Но все равно в $SL_2(\mathbb{Z}_2)$ ровно $3$ элемента, все равно порядок остается равным $3$.

[farewe11]

Sonic86 в сообщении #569255 писал(а):

Это Вы рассматриваете действием группы на себе.

Именно так. У меня есть план, в принципе - составить подгруппу из $S_3$, элементами которой будут перестановки (три штуки), полученные из отображений $L_j(g)$. Так как у нас элементы $SL_2(Z/2Z)$ пронумерованы от $1$ до $3$, то напишем: $L_1$ породит ${1, 2, 3}$, $L_2$ породит ${2, 3, 1}$, $L_3$ породит ${3, 1, 2}$. А вот будет ли этот набор перестановок подгруппой - вопрос ещё тот...

[Sonic86]

farewe11 в сообщении #569257 писал(а):

У меня есть план, в принципе - составить подгруппу из $S_3$, элементами которой будут перестановки (три штуки), полученные из отображений $L_j(g)$.

Ну фактически так и есть: группа $G$ действует на себе, $|G|=3$, значит $G$ вкладывается в $S_3$.

farewe11 в сообщении #569257 писал(а):

Так как у нас элементы $SL_2(Z/2Z)$ пронумерованы от $1$ до $3$, то напишем: $L_1$ породит ${1, 2, 3}$, $L_2$ породит ${2, 3, 1}$, $L_3$ породит ${3, 1, 2}$. А вот будет ли этот набор перестановок подгруппой - вопрос ещё тот...

Сразу будет: если $G$ - группа и $G$ действует на $X$, то $G$ - группа (извините за тавтологию)

Но при этом все равно $G \not\cong S_3$.
Я надеюсь, Вы все-таки скажете, чему изоморфна $G$?

[RIP]

В группе $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z/2\mathbb Z)$ 6 элементов, и поскольку она неабелева, то она изоморфна $S_3$.

[farewe11]

RIP в сообщении #569263 писал(а):

В группе $SL_2(Z/2Z)$ 6 элементов, и поскольку она неабелева, то она изоморфна $S_3$.

Как же шесть? Там же всего три матрицы с ненулевым определителем получается. Единичная и еще две, в которых ноль всего один на всю матрицу. А у всех остальных нулевой определитель..

[Sonic86]

Блин, действительно 6 матриц
$\binom{1 \ 0}{0 \ 1},\binom{0 \ 1}{1 \ 0},\binom{1 \ 1}{0 \ 1},\binom{1 \ 1}{1 \ 0},\binom{1 \ 0}{1 \ 1},\binom{0 \ 1}{1 \ 1}$.

[RIP]

(Оффтоп)

Вообще, для конечного поля $\mathbb F_q$ из $q$ элементов и любого натурального $n$:

1) $\bigl|\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\bigr|=(q^n-1)(q^n-q)\cdot\ldots\cdot(q^n-q^{n-1})$ (первый столбец можно выбрать $(q^n-1)$ способами (или способом? ), второй — $(q^n-q)$ способами и т.д.);

2) $\bigl|\mathrm{SL}_n(\mathbb F_q)\bigr|=\bigl|\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\bigr|/(q-1)$ (поскольку $\mathrm{SL}_n(\mathbb F_q)$ — это ядро эпиморфизма $\det\colon\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\to\mathbb F_q^*$).

[farewe11]

RIP в сообщении #569263 писал(а):

и поскольку она неабелева, то она изоморфна $S_3$.

можно чутка поподробнее? Из чего следует изоморфность этих групп?

[ИСН]

Из того, что других групп с такими признаками нету.

[farewe11]

И это будет такой ответ? Две группы одинакового порядка, неабелевы - и этого достаточно для задания изоморфизма?

Нет, ну вообще у меня уже есть готовый изоморфизм, я его ещё раньше начал описывать - довольно многословно получится. То есть, грубо говоря, на практике показал, что группы изоморфны. Интересно было бы теоретически это показать..

[apriv]

farewe11 в сообщении #570520 писал(а):

И это будет такой ответ? Две группы одинакового порядка, неабелевы - и этого достаточно для задания изоморфизма?

Нет, но если две группы одинакового порядка 6 и неабелевы — вот этого достаточно, но не для задания изоморфизма, а для доказательства его существования. А вообще несложно понять, что $SL(2,\mathbb Z/2\mathbb Z)$ действует на ненулевых векторах двумерного пространства над $\mathbb Z/2\mathbb Z$, которых три штуки.

[farewe11]

apriv в сообщении #570528 писал(а):

этого достаточно, но не для задания изоморфизма, а для доказательства его существования

Я не могу понять, почему этого достаточно. Хотя я могу это представить, но почему этих условий достаточно для того, чтобы сказать, что группы изоморфны - неясно совсем.