диск катится по прямой

[Oleg Zubelevich]

В поле силы тяжести круглый диск массы $m$ катится без проскальзывания по горизонтальной прямой -- "плоская " задача. Радиус диска $2a$. Центр масс диска расположен на расстоянии $a$ от его геометрического центра. Момент инерции относительно оси перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр масс -- $J$.
С какой угловой скоростью надо запустить диск чтобы он отлетел от поверхности, если в начальный момент центр масс диска занимает наинизшее положение?

[Parkhomuk]

При условии, что: $J>3ma^2(\sqrt{10}-3)$
$\omega_{min}=\sqrt{\frac{Jg/a+13mga}{J+ma^2}}$

[Oleg Zubelevich]

У меня ответа нет. Я вычислил зависимость вертикальной составляющей реакции опоры от начальной скорости и угла поворота. Формула оказалась здоровой и я дальше ковыряться не стал.

-- Вт апр 24, 2012 09:50:42 --

Parkhomuk в сообщении #563268 писал(а):

что: $J>3ma^2(\sqrt{10}-3)$

а что разве если это условие не выполнено диск не отлетит? Думаю, что отлетит при достаточно большой начальной скорости

[Parkhomuk]

Oleg Zubelevich в сообщении #563306 писал(а):

Формула оказалась здоровой

В общем случае у меня формула $\omega(\phi)$ тож оказалась здоровой. У ней существует два минимума: один при угле $\phi=\pi$ (центр тяжести при отрыве находится в верхней точке), второй при угле $\cos(\phi)=\frac12-\frac34\sqrt{1-\frac{J}{3ma^2}}$ Так вот при выполнении условия для $J$, которое я приводил выше, первый минимум меньше второго и там все упрощается. Если же условие не выполняется, то конечная формула оч. тяжелая, кроме того в этом случае требуется уточнение о связи обеспечивающей движение диска без проскальзывания, т.к. обычная сила трения (которую я смею предполагать) тут может не пройти (для этого случая специально не проверял).

[Oleg Zubelevich]

Пусть $R_y$ это проекция реакции опоры на ось координат направленную вертикально вверх. Я считаю, что отрыв от поверхности происходит в тот момент времени раньше которого $R_y>0$, а позже которого $R_y<0.$
Вообще-то в таких задачах бывают парадоксы. В этой задаче не знаю, а вот если стержень стоит на абсолютно шероховатом полу и его роняют из вертикального положения, то может случиться так, что в момент, когда реакция пола равна нулю, ускорение конца стержня на котором он стоял направлено в пол. Как-то так.

[anik]

$$\omega>\sqrt{\frac{g}{a}}$$

Я так понял, что объяснения здесь писать не принято.

-- Сб май 05, 2012 22:06:53 --

Здесь $\omega$ - угловая скорость диска в момент отрыва от горизонтальной прямой.

[anik]

anik в сообщении #567675 писал(а):

$$\omega>\sqrt{\frac{g}{a}}$$

Здесь у меня ошибка. Правильно должно быть так:

$$\omega>\sqrt{\frac{g}{3a}}$$

Я ждал, думал что меня поправят.

[anik]

Найдём момент инерции диска относительно точки касания в двух случаях: когда ц.м. диска вверху $J_1$, и когда внизу $J_2$.

$$J_1=J+9ma^2$$

$$J_2=J+ma^2.$$

Кинетические энергии диска в обоих случаях должны быть равны, отсюда:

$$J_1\omega^2=J_2\Omega^2,$$

где $\Omega$ угловая скорость диска, когда его ц.м. внизу. Это именно та угловая скорость, которую требуется найти. Тогда,

$$\Omega^2=\frac{(J+9ma^2)\omega^2}{J+ma^2}$$

Угловую скорость $\omega$ мы нашли раньше.