2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 диск катится по прямой
Сообщение19.04.2012, 11:02 
В поле силы тяжести круглый диск массы $m$ катится без проскальзывания по горизонтальной прямой -- "плоская " задача. Радиус диска $2a$. Центр масс диска расположен на расстоянии $a$ от его геометрического центра. Момент инерции относительно оси перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр масс -- $J$.
С какой угловой скоростью надо запустить диск чтобы он отлетел от поверхности, если в начальный момент центр масс диска занимает наинизшее положение?

 
 
 
 Re: диск катится по прямой
Сообщение24.04.2012, 05:05 
При условии, что: $J>3ma^2(\sqrt{10}-3)$
$\omega_{min}=\sqrt{\frac{Jg/a+13mga}{J+ma^2}}$

 
 
 
 Re: диск катится по прямой
Сообщение24.04.2012, 09:46 
У меня ответа нет. Я вычислил зависимость вертикальной составляющей реакции опоры от начальной скорости и угла поворота. Формула оказалась здоровой и я дальше ковыряться не стал.

-- Вт апр 24, 2012 09:50:42 --

Parkhomuk в сообщении #563268 писал(а):
что: $J>3ma^2(\sqrt{10}-3)$

а что разве если это условие не выполнено диск не отлетит? Думаю, что отлетит при достаточно большой начальной скорости

 
 
 
 Re: диск катится по прямой
Сообщение24.04.2012, 10:34 
Oleg Zubelevich в сообщении #563306 писал(а):
Формула оказалась здоровой

В общем случае у меня формула $\omega(\phi)$ тож оказалась здоровой. У ней существует два минимума: один при угле $\phi=\pi$ (центр тяжести при отрыве находится в верхней точке), второй при угле $\cos(\phi)=\frac12-\frac34\sqrt{1-\frac{J}{3ma^2}}$ Так вот при выполнении условия для $J$, которое я приводил выше, первый минимум меньше второго и там все упрощается. Если же условие не выполняется, то конечная формула оч. тяжелая, кроме того в этом случае требуется уточнение о связи обеспечивающей движение диска без проскальзывания, т.к. обычная сила трения (которую я смею предполагать) тут может не пройти (для этого случая специально не проверял).

 
 
 
 Re: диск катится по прямой
Сообщение24.04.2012, 11:09 
Пусть $R_y$ это проекция реакции опоры на ось координат направленную вертикально вверх. Я считаю, что отрыв от поверхности происходит в тот момент времени раньше которого $R_y>0$, а позже которого $R_y<0.$
Вообще-то в таких задачах бывают парадоксы. В этой задаче не знаю, а вот если стержень стоит на абсолютно шероховатом полу и его роняют из вертикального положения, то может случиться так, что в момент, когда реакция пола равна нулю, ускорение конца стержня на котором он стоял направлено в пол. Как-то так.

 
 
 
 Re: диск катится по прямой
Сообщение05.05.2012, 18:02 
$$\omega>\sqrt{\frac{g}{a}}$$
Я так понял, что объяснения здесь писать не принято.

-- Сб май 05, 2012 22:06:53 --

Здесь $\omega$ - угловая скорость диска в момент отрыва от горизонтальной прямой.

 
 
 
 Re: диск катится по прямой
Сообщение09.05.2012, 12:47 
anik в сообщении #567675 писал(а):
$$\omega>\sqrt{\frac{g}{a}}$$
Здесь у меня ошибка. Правильно должно быть так: $$\omega>\sqrt{\frac{g}{3a}}$$ Я ждал, думал что меня поправят.

 
 
 
 Re: диск катится по прямой
Сообщение09.05.2012, 14:17 
Найдём момент инерции диска относительно точки касания в двух случаях: когда ц.м. диска вверху $J_1$, и когда внизу $J_2$.
$$J_1=J+9ma^2$$ $$J_2=J+ma^2.$$ Кинетические энергии диска в обоих случаях должны быть равны, отсюда: $$J_1\omega^2=J_2\Omega^2,$$ где $\Omega$ угловая скорость диска, когда его ц.м. внизу. Это именно та угловая скорость, которую требуется найти. Тогда,
$$\Omega^2=\frac{(J+9ma^2)\omega^2}{J+ma^2}$$Угловую скорость $\omega$ мы нашли раньше.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group