Имеет ли эта последовательность предел?

[мат-ламер]

_mv. Я хочу обратить Ваше внимание, что переходить на личности в этом форуме не принято. По-моему, даже в правилах есть.

[bot]

(Оффтоп)

И к тому же характеристику текста как ерунда, бред и т.д. и т.п. (если ещё не встречали, то встретите) не следует примеривать к себе - ничего личного в таких характеристиках нет, она на специализированных форумах всем глубоко фиолетова.

[Integrall]

ewert в сообщении #568736 писал(а):

Обозначим $S_n=\sum\limits_{m=1}^n\dfrac1m, S_0=0$. Фиксируем $\theta\in[0;2\pi)$ и рассмотрим последовательность $\{n_k\}$, определяемую условием $\theta+2\pi k\in(S_{n_k-1};S_{n_k}]\ (\forall k\in\mathbb N)$ (она существует и монотонно возрастает, т.к. гармонический ряд расходится и при этом его члены не больше единицы). Тогда $|\sin \theta-\sin S_{n_k}|=|\sin (\theta+2\pi k)-\sin S_{n_k}|\to 0$ при $k\to\infty$, поскольку $|\theta+2\pi k-S_{n_k}|<S_{n_k}-S_{n_k-1}=\dfrac1{n_k}\to0$. Другими словами, число $\sin\theta$ при любом $\theta$ является предельной точкой последовательности $\sin S_n$, вот и всё.

доказательство методически не верно. Выбор подпоследовательности $n_k$ с указанными свойствами сомнителен.

ewert писал(а):

рассмотрим последовательность $\{n_k\}$, определяемую условием $\theta+2\pi k\in(S_{n_k-1};S_{n_k}]\ (\forall k\in\mathbb N)$ (она существует и монотонно возрастает, т.к. гармонический ряд расходится и при этом его члены не больше единицы)

Если бы вы показали, что интервалы $(S_{n_k-1};S_{n_k})$ образуют в точке $\theta$ базу фильтра, с дальнейшим можно было согласиться. В общем не понятно, как по $k$ выбран интервал $(S_{n_k-1};S_{n_k})$ с указанными свойствами.

[nnosipov]

Integrall в сообщении #568841 писал(а):

Выбор подпоследовательности $n_k$ с указанными свойствами сомнителен.

А мне он кажется очевидным.

Integrall в сообщении #568841 писал(а):

Если бы вы показали, что интервалы $(S_{n_k-1};S_{n_k})$ образуют в точке $\theta$ базу фильтра, с дальнейшим можно было согласиться.

Смотреть нужно не на точку $\theta$.

[ewert]

Integrall в сообщении #568841 писал(а):

Если бы вы показали, что интервалы $(S_{n_k-1};S_{n_k})$ образуют в точке $\theta$ базу фильтра,

Боже упаси, даже и не пытался бы показывать. Фильтры какие-то, не к ночи будь помянуты; в то время как тут просто банальщина.

Integrall в сообщении #568841 писал(а):

В общем не понятно, как по $k$ выбран интервал $(S_{n_k-1};S_{n_k})$ с указанными свойствами.

Тривиально выбран. Дело всего лишь в том, что указанные промежутки (Вы, кстати, перепутали кой-какие скобочки, а напрасно) дизъюнктно покрывают полуось.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #568847 писал(а):

...в то время как тут просто банальщина.

Причём невероятно затянувшаяся... Всё разжевали в кашицу, ан не глотает, говорит: "Пожуйте ещё". А стоит ли?

[ewert]

Вот в чём, впрочем, я готов покаяться. Вместо:

ewert в сообщении #568736 писал(а):

Тогда $|\sin\theta-\sin S_{n_k}|=|\sin(\theta+2\pi k)-\sin S_{n_k}|\to0$ при $k\to\infty$, поскольку $|\theta+2\pi k-S_{n_k}|<S_{n_k}-S_{n_k-1}=\dfrac1{n_k}\to0$.

следовало написать:

"Тогда $|\sin\theta-\sin S_{n_k}|=|\sin\theta-\sin(S_{n_k}-2\pi k)|\to0$ при $k\to\infty$, поскольку $|\theta-(S_{n_k}-2\pi k)|<S_{n_k}-S_{n_k-1}=\dfrac1{n_k}\to0$."

(разница в том, что в первом случае идёт ссылка на равномерную непрерывность синуса, в то время как во втором -- на просто непрерывность, это логически проще).

[Integrall]

дадим конструктивное доказательство.

Для начала изменим последовательность $a_n=\sin( \sum_{k=1}^n 1/k )$ на послед. вида $a_n=\dfrac1{2\pi}\sin(2\pi \sum_{k=1}^n 1/k )$, чтобы не заморачиваться с целой частью $2\pi k$. Ясно, что $f(x)=\dfrac1{2\pi}\sin(2\pi x)$ непрерывная функция и мешать нам в дальнейшем не будет.

Не ограничивая общности, рассмотрим только точку $x = 0$. она отождествляется с любым целым $n$. Используем оценку скорости роста ряда $S_n= \sum_{k=1}^n 1/k$: $\ln (n) < S_n < \ln (n) +1$ из нее вытекает: $n < S_{[e^n]} < n +1$ и в заключении $S_{[e^{n-1}]} < n < S_{[e^n]}$. Так мы построили ситему интервалов $(S_{[e^{n-1}]};S_{[e^n]})$, содеджащии все целые $n$ и сходящиеся к нулю, так как $|S_{[e^{n-1}]} - S_{[e^n]}| \to0$ при $n\to\infty$. Дальнейшее, надеюсь, ясно.

[ewert]

(Оффтоп)

Integrall в сообщении #568861 писал(а):

Последнее, надеюсь, ясно.

Мне лично ничего не ясно, и в первую очередь неясно: зачем навешивать ненужные формальности, допущения и пр. на то, что и без того очевидно?...

Хотя это, конечно, вкусовщина.

[Dragon27]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #568849 писал(а):

Причём невероятно затянувшаяся... Всё разжевали в кашицу, ан не глотает, говорит: "Пожуйте ещё". А стоит ли?

Не первая тема здесь, как я заметил, превращается во взаимное демонстрирование длины математических знаний :)

[nnosipov]

Integrall, Ваши логарифмы --- это непозволительная роскошь, ибо в более общей ситуации их просто не будет, либо добывать их аналоги будет слишком хлопотно. Ваше конструктивное доказательство лишено перспективы.

[ewert]

(Оффтоп)

Dragon27 в сообщении #568873 писал(а):

превращается во взаимное демонстрирование длины математических знаний :)

да тут-то уж дело ни разу не в длине, а в осмысленности. Уже первый пример с перебежками от края до края и обратно вполне исчерпывал тему. Всё дальнейшее -- не более чем "игра в бисер".

[Integrall]

nnosipov в сообщении #568875 писал(а):

Integrall, Ваши логарифмы --- это непозволительная роскошь, ибо в более общей ситуации их просто не будет, либо добывать их аналоги будет слишком хлопотно. Ваше конструктивное доказательство лишено перспективы.

Критикуя, предлагай. Приведите своё!

[ewert]

(Оффтоп)

Integrall в сообщении #568880 писал(а):

Критикуя, предлагай. Приведите своё!

так ведь в этой же ветке уже чёрт-те сколько приведено, и всё разумно, и на разные вкусы, куда уж больше-то; не привередничайте

[zhoraster]

_mv, предупреждение за злостный оффтоп, флейм и переход на личности.