Задача про обобщенные функции

[CptPwnage]

Пусть есть локально ограниченная борелевская мера $\mu$ на $\mathbb R^n$. На $\varphi \in \mathcal D$ определим функционал $\int \varphi d\mu $. Доказать что он продолжается до элемента $\mathcal S'$ тогда и только тогда, когда существуют такие $C,k >0$, что
$\mu(\|x\| \le R) \le C+CR^k$
Решение
В одну сторону очевидно. Если такие $C,k$ существуют, то для любого элемента $\matcal S$ интеграл существует, т.к мера шара нарастает степенно, а функция убывает быстрее любой степенной.
В обратную. От противного: пусть $\forall C,k \exists R $, такое что $\mu(\|x\| \le R) > C+CR^k$ (ну и соответственно мера всех шаров большего радиуса тоже больше этого выражения). А теперь по идее надо как-то построить последовательность финитных функций, сходящихся к быстро убывающей, но чтобы интегралы расходились. Например можно брать функции убывающие как $\frac 1 {k+1} $ на шарах с мерой $ > C+CR^k$. Верно?

[Oleg Zubelevich]

post569747.html#p569747