Пусть есть локально ограниченная борелевская мера

на

. На

определим функционал

. Доказать что он продолжается до элемента

тогда и только тогда, когда существуют такие

, что

Решение
В одну сторону очевидно. Если такие

существуют, то для любого элемента

интеграл существует, т.к мера шара нарастает степенно, а функция убывает быстрее любой степенной.
В обратную. От противного: пусть

, такое что

(ну и соответственно мера всех шаров большего радиуса тоже больше этого выражения). А теперь по идее надо как-то построить последовательность финитных функций, сходящихся к быстро убывающей, но чтобы интегралы расходились. Например можно брать функции убывающие как

на шарах с мерой

. Верно?