Дифференциальное уравнение с задержкой аргумента

[Bod]

Подскажите, не видели ли вы где ни будь решение вот такого ДУ:

\[\ddot y(t) + b \cdot \dot y(t) + c \cdot y(t) = d \cdot y(t - k \cdot y(t))\]

Или быть может подскажете с какой стороны можно к такому подступиться.
Заранее благодарен.

[Руст]

Не пробовали искать решения вида y(t)=C1t+C2?

[Bod]

Нет, этот зверь так просто не дастся. Это было бы лишь частным случаем при С = D и специфических начальных условиях, для многих же остальных случаев такое решение не подойдет.

[Руст]

На самом деле так получается однопараметрическое множество решений. Других решений в виде многочленов не существует.
Найти общее решение вряд ли возможно, уравнение ведь нелинейное.

[V.V.]

Bod писал(а):

\[\ddot y(t) + b \cdot \dot y(t) + c \cdot y(t) = d \cdot y(t - k \cdot y(t))\]

Или быть может подскажете с какой стороны можно к такому подступиться.

Можно попытаться написать метод последовательных приближений, основываясь на равенстве
$y(t)=y_0+\int\limits_0^t K(t,s)y(t-ky(s))ds$, где $K(t,s)$~--- матрица Коши уравнения $y''+by'+cy=0$.

Положим $y_0(t)=y_0$, $y_{n+1}(t)=y_0+\int\limits_0^t K(t,s)y_n(t-ky_n(s))ds$. Вдруг сойдется?

[Bod]

Решил поискать решение в виде

\[ {\sum\limits_{v = 0}^n {a_v \cdot x^v } } \]

, но столкнулся со следующей проблемкой:
что то не соображу как найти формульное выражение для

\[ {C_i } \]

исходя из следующей записи:

\[ \left( {\sum\limits_{v = 0}^n {a_v \cdot x^v } } \right)^k = \sum\limits_{i = 0}^{n \cdot k} {C_i \cdot x^i } \]

[RIP]

$$C_m=\sum_{\substack{i_0+i_1+\ldots+i_n=k\\0\cdot i_0+1\cdot i_1+2\cdot i_2+\ldots+n\cdot i_n=m}}\frac{k!}{i_0!i_1!\ldots i_n!}a_0^{i_0}a_1^{i_1}\ldots a_n^{i_n}$$

[Руст]

Только бесполезно искать в таком виде. Решений в виде многочлена кроме первой степени нет. Раскладывать в ряд по степеням для нелинейного уравнения дело безнадёжное. Как я указал можно получить некоторые частные решения. Можно ещё найти итерационный процесс в стиле V.V. Можно ещё привести к переменной x=t-y(t) и выразить производные по t через производные по х. Это приведёт к другому нелинейному уравнению без запаздывания.
Нечего другого я больше не могу предложить.

[Bod]

RIP, спасибо, это я себе примерно так и представлял, но вот как эту сумму занумеровать через последовательный перебор чисел подобно обычной сумме

\[ \sum\limits_{i = 0}^n {} \]

, то есть что бы i пробегал ряд вполне известных чисел. Просто в том виде в котором представили вы несколько неудобно осуществлять дальнейшие преобразования.

Добавлено спустя 4 минуты 45 секунд:

Цитата:

Только бесполезно искать в таком виде. Решений в виде многочлена кроме первой степени нет. Раскладывать в ряд по степеням для нелинейного уравнения дело безнадёжное.

Ну почему же может получится не совсем строгое решение но , можно будет получить хотя бы функцию приближенно равную функции решения, а для практического применения этого уже может хватить.

[RIP]

Bod
Упростить это никак нельзя (вернее, я не могу) в силу того, что $a_j$ - это некоторые неизвестные, и если хорошенько присмотреться, то легко увидеть, что в этой сумме нет подобных слагаемых. Единственное, что можно сделать, так это можно записать сумму по-другому: $i_n$ бегает от $0$ до $\min\{k;m/n\}$, $i_{n-1}$ - от $0$ до $\min\{k-i_n;\frac{m-ni_n}{n-1}\}$,..., $i_1=m-ni_n-(n-1)i_{n-1}-\ldots-2i_2$, если $m-ni_n-\ldots-2i_2\leqslant k-i_n-\ldots-i_2$, $i_0=k-i_n-\ldots-i_1$. Только вряд ли это поможет.

[Амира]

это так называемые уравнения с self-dependent delay. Скажите спасибо, что запазжывание аргумента от производной не зависит)))))

[Руст]

Bod писал(а):

Подскажите, не видели ли вы где ни будь решение вот такого ДУ:

\[\ddot y(t) + b \cdot \dot y(t) + c \cdot y(t) = d \cdot y(t - k \cdot y(t))\]

Или быть может подскажете с какой стороны можно к такому подступиться.
Заранее благодарен.

Думаю получить аналитическое общее решение невозможно. Соответственно можно решать численно. Но решение задачи Коши возможно только если всё время выполняется неравенство 0<=y(t)<=t/k. Это в свою очередь ограничивает начальные условия y(0)=0,0<=y'(0)<=1/k и b>=0 (система должна быть диссипативной).