2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Дифференциальное уравнение с задержкой аргумента
Сообщение03.03.2007, 22:56 
Подскажите, не видели ли вы где ни будь решение вот такого ДУ:
\[\ddot y(t) + b \cdot \dot y(t) + c \cdot y(t) = d \cdot y(t - k \cdot y(t))\]
Или быть может подскажете с какой стороны можно к такому подступиться.
Заранее благодарен.

 
 
 
 
Сообщение04.03.2007, 00:31 
Не пробовали искать решения вида y(t)=C1t+C2?

 
 
 
 
Сообщение04.03.2007, 02:00 
Нет, :D этот зверь так просто не дастся. Это было бы лишь частным случаем при С = D и специфических начальных условиях, для многих же остальных случаев такое решение не подойдет.

 
 
 
 
Сообщение04.03.2007, 08:56 
На самом деле так получается однопараметрическое множество решений. Других решений в виде многочленов не существует.
Найти общее решение вряд ли возможно, уравнение ведь нелинейное.

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение с задержкой аргумента
Сообщение04.03.2007, 10:04 
Bod писал(а):
\[\ddot y(t) + b \cdot \dot y(t) + c \cdot y(t) = d \cdot y(t - k \cdot y(t))\]
Или быть может подскажете с какой стороны можно к такому подступиться.


Можно попытаться написать метод последовательных приближений, основываясь на равенстве
$y(t)=y_0+\int\limits_0^t K(t,s)y(t-ky(s))ds$, где $K(t,s)$~--- матрица Коши уравнения $y''+by'+cy=0$.

Положим $y_0(t)=y_0$, $y_{n+1}(t)=y_0+\int\limits_0^t K(t,s)y_n(t-ky_n(s))ds$. Вдруг сойдется? :)

 
 
 
 
Сообщение04.03.2007, 17:31 
Решил поискать решение в виде \[
{\sum\limits_{v = 0}^n {a_v  \cdot x^v } }
\], но столкнулся со следующей проблемкой:
что то не соображу как найти формульное выражение для \[
{C_i }
\] исходя из следующей записи:
\[
\left( {\sum\limits_{v = 0}^n {a_v  \cdot x^v } } \right)^k  = \sum\limits_{i = 0}^{n \cdot k} {C_i  \cdot x^i } 
\]

 
 
 
 
Сообщение04.03.2007, 18:27 
Аватара пользователя
$$C_m=\sum_{\substack{i_0+i_1+\ldots+i_n=k\\0\cdot i_0+1\cdot i_1+2\cdot i_2+\ldots+n\cdot i_n=m}}\frac{k!}{i_0!i_1!\ldots i_n!}a_0^{i_0}a_1^{i_1}\ldots a_n^{i_n}$$

 
 
 
 
Сообщение04.03.2007, 19:07 
Только бесполезно искать в таком виде. Решений в виде многочлена кроме первой степени нет. Раскладывать в ряд по степеням для нелинейного уравнения дело безнадёжное. Как я указал можно получить некоторые частные решения. Можно ещё найти итерационный процесс в стиле V.V. Можно ещё привести к переменной x=t-y(t) и выразить производные по t через производные по х. Это приведёт к другому нелинейному уравнению без запаздывания.
Нечего другого я больше не могу предложить.

 
 
 
 
Сообщение04.03.2007, 19:35 
RIP, спасибо, это я себе примерно так и представлял, но вот как эту сумму занумеровать через последовательный перебор чисел подобно обычной сумме \[
\sum\limits_{i = 0}^n {} 
\], то есть что бы i пробегал ряд вполне известных чисел. Просто в том виде в котором представили вы несколько неудобно осуществлять дальнейшие преобразования.

Добавлено спустя 4 минуты 45 секунд:

Цитата:
Только бесполезно искать в таком виде. Решений в виде многочлена кроме первой степени нет. Раскладывать в ряд по степеням для нелинейного уравнения дело безнадёжное.

Ну почему же может получится не совсем строгое решение но , можно будет получить хотя бы функцию приближенно равную функции решения, а для практического применения этого уже может хватить.

 
 
 
 
Сообщение05.03.2007, 16:38 
Аватара пользователя
Bod
Упростить это никак нельзя (вернее, я не могу) в силу того, что $a_j$ - это некоторые неизвестные, и если хорошенько присмотреться, то легко увидеть, что в этой сумме нет подобных слагаемых. Единственное, что можно сделать, так это можно записать сумму по-другому: $i_n$ бегает от $0$ до $\min\{k;m/n\}$, $i_{n-1}$ - от $0$ до $\min\{k-i_n;\frac{m-ni_n}{n-1}\}$,..., $i_1=m-ni_n-(n-1)i_{n-1}-\ldots-2i_2$, если $m-ni_n-\ldots-2i_2\leqslant k-i_n-\ldots-i_2$, $i_0=k-i_n-\ldots-i_1$. Только вряд ли это поможет.

 
 
 
 
Сообщение09.03.2007, 19:08 
это так называемые уравнения с self-dependent delay. Скажите спасибо, что запазжывание аргумента от производной не зависит)))))

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение с задержкой аргумента
Сообщение09.03.2007, 19:25 
Bod писал(а):
Подскажите, не видели ли вы где ни будь решение вот такого ДУ:
\[\ddot y(t) + b \cdot \dot y(t) + c \cdot y(t) = d \cdot y(t - k \cdot y(t))\]
Или быть может подскажете с какой стороны можно к такому подступиться.
Заранее благодарен.

Думаю получить аналитическое общее решение невозможно. Соответственно можно решать численно. Но решение задачи Коши возможно только если всё время выполняется неравенство 0<=y(t)<=t/k. Это в свою очередь ограничивает начальные условия y(0)=0,0<=y'(0)<=1/k и b>=0 (система должна быть диссипативной).

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group