Студенческая олимпиада киевского мехмата 2007

[RIP]

Хорхе писал(а):

Степени 2007, надеюсь?

Да хоть какой-нибудь степени. (Ответ мне неизвестен.)

[Руст]

А разве нельзя деформировать с помощью полинома Лагранжа так, чтобы корни построенного RIP ом решения сделать рациональными? Для этого берём очень близкие рациональные числа к корням построенного многочлена и добавим полином Лагранжа построенных с узлами в выбранных рациональных точках и со значениями в виде отклонений от требуемого. Когда все рациональные точки будут выбраны достаточно близкими поправочный полином Лагранжа не изменит свойства построенного многочлена.

[neo66]

Хорхе писал(а):

RIP писал(а):

Кстати, хорошая задачка:
Существует ли многочлен $P(x)\in\mathbb{Q}[x]$ такой, что для каждого $k=1,2,\ldots,2007$ уравнение $P(x)=k$ имеет ровно $k$ рациональных корней (без учета кратностей)?

Степени 2007, надеюсь?

Степени 2007, конечно, нет. А без этого условия, конечно, да.

[dm]

RIP писал(а):

dm писал(а):

8. Пусть $A$, $B$ --- симметричные действительные положительно
определенные матрицы, причем матрица $A+B-E$ также положительно
определена. Может ли быть отрицательно определенной матрица

$$A^{-1}+B^{-1}-\frac{1}{2}(A^{-1}B^{-1}+B^{-1}A^{-1})?$$

$$0<A^{-1}(A+B-E)B^{-1}+B^{-1}(A+B-E)A^{-1}=\ldots$$

А почему сейчас произведение положительно определенных матриц, которые не обязательно коммутируют, положительно определено?

[RIP]

Потому что я ступИл.

Если обозначить

$$C=A^{-1}+B^{-1}-\frac12(A^{-1}B^{-1}+B^{-1}A^{-1}),$$

то для любого вектора $x$

$$(Cx,x)=((A+B-E)y,z),$$

где $y=A^{-1}x$, $z=B^{-1}x$.

Найдется такое $x\ne0$, что $z=\lambda y$, $\lambda>0$. При таком $x$ правая часть положительна.

[Yntz]

Руст писал(а):

Первая задача не совсем корректно сформулирована. При p+q<r+s предел равен нулю. При p+q=r+s предел r!s!/(p!q!), при p+q>r+s предел не существует, точне стремится к бесконечности.

А по моим подсчетам предел всегда равен r!s!/(p!q!)
Откуда такое условие?

[RIP]

$$\prod_{k=1}^n\frac{(k+p)(k+q)}{(k+r)(k+s)}=\frac{\Gamma(r+1)\Gamma(s+1)}{\Gamma(p+1)\Gamma(q+1)}\cdot\frac{\Gamma(p+n+1)\Gamma(q+n+1)}{\Gamma(r+n+1)\Gamma(s+n+1)}\sim\frac{\Gamma(r+1)\Gamma(s+1)}{\Gamma(p+1)\Gamma(q+1)}\cdot n^{p+q-r-s}$$

[Yntz]

А так не пойдет?

$$\prod_{k=1}^n\frac{(k+p)(k+q)}{(k+r)(k+s)}=\frac{\Gamma(r+1)\Gamma(s+1)}{\Gamma(p+1)\Gamma(q+1)}\cdot\frac{\Gamma(p+n+1)\Gamma(q+n+1)}{\Gamma(r+n+1)\Gamma(s+n+1)}\sim$$ $$\sim\frac{\Gamma(r+1)\Gamma(s+1)}{\Gamma(p+1)\Gamma(q+1)}\frac{\Gamma(n)\Gamma(n)}{\Gamma(n)\Gamma(n)}=\frac{\Gamma(r+1)\Gamma(s+1)}{\Gamma(p+1)\Gamma(q+1)}$$

[незваный гость]

Так нельзя. Хотя бы потому, что если $p+q-r-s\not = 0$, то это неверно.

Любопытно, что практически все это рассуждение можно перенести на вещественные параметры (а не натуральные). Условие существования предела останется (практически) тем же.

[RIP]

Это можно перенести и на случай любых комплексных $p,q,r,s$, если отбросить случай, когда $r$ или $s$ целое отрицательное, поскольку для любого комплексного числа $s$

$$\lim_{n\to\infty}\frac{s(s+1)\ldots(s+n-1)}{n!n^{s-1}}=\frac1{\Gamma(s)}$$

Здесь $n^{s-1}=e^{(s-1)\ln n}$, где $\ln n\in\mathbb{R}$.

[Yntz]

Тогда найдите ошибку здесь
z=max(p, q, r, s) (конечное) $$\prod_{k=1}^n\frac{(k+p)(k+q)}{(k+r)(k+s)}=\frac{\prod_{k=1}^n(k+p)\prod_{k=1}^n(k+q)}{\prod_{k=1}^n(k+r)\prod_{k=1}^n(k+s)}=\frac{\prod_{k=1+p}^{n+p}(k)\prod_{k=1+q}^{n+q}(k)}{\prod_{k=1+r}^{n+r}(k)\prod_{k=1+s}^{n+s}(k)}=(n\to\infty)=\frac{\prod_{k=1+p}^n(k)\prod_{k=1+q}^n(k)}{\prod_{k=1+r}^n(k)\prod_{k=1+s}^n(k)}=$$ $$=\frac{\prod_{k=1+p}^z(k)\prod_{k=1+q}^z(k)}{\prod_{k=1+r}^z(k)\prod_{k=1+s}^z(k)} \cdot\frac{\prod_{k=z+1}^n(k)\prod_{k=z+1}^n(k)}{\prod_{k=z+1}^n(k)\prod_{k=z+1}^n(k)}=\frac{\prod_{k=1+p}^z(k)\prod_{k=1+q}^z(k)}{\prod_{k=1+r}^z(k)\prod_{k=1+s}^z(k)} =\frac{r!s!}{p!q!} $$
Все произведение эквивалентно произведению первых членов, начиная с z все члены сокращаются при условии бесконечного n

[RIP]

Yntz писал(а):

$$\frac{\prod_{k=1+p}^{n+p}(k)\prod_{k=1+q}^{n+q}(k)}{\prod_{k=1+r}^{n+r}(k)\prod_{k=1+s}^{n+s}(k)}=(n\to\infty)=\frac{\prod_{k=1+p}^n(k)\prod_{k=1+q}^n(k)}{\prod_{k=1+r}^n(k)\prod_{k=1+s}^n(k)}=$$

Здесь ошибка

[dm]

Условия и решения студенческих олимпиад киевского мехмата в 2000-2007 годах (на украинском языке)
http://infostore.org/file/3012381/25151 ... 07.pdf.rar 485,089