Целая часть

[Хорхе]

(Оффтоп)

Нет, там не видел. А где же я его видел?

[Padawan]

Хорхе
Все-таки, в части достаточности до конца еще не понятно. Пусть $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$, $\alpha$ иррационально. Можно считать, что $1<\beta<2$, $\alpha>2$, иначе поменяем их местами. Следуя Вашему змечанию, я показал, что последовательности $[\alpha x]$ и $[\beta y]$ не пересекаются. А как доказать, что они заполнят весь натуральный ряд, что никакое наутральное число не проскочим?

[Хорхе]

Точно так же, следуя моему змечанию

Ежели $m>n\alpha$ и $m+1<(n+1)\alpha$, то...