(Интуитивно понятные обозначения)
I. Вероятностная эвристика.
Вероятностные соображения показывают, что в среднем ожидается уменьшение следующего нечётного члена C-последовательности в 3/4 раза относительно предыдущего нечётного. Объясняется это простой формулой:
(Очевидно, к вопросу существования C-циклов эти вероятностные рассуждения неприменимы -- речь идёт только об ограниченности C-последовательности.)
Возникает интерес посмотреть -- а что если немного изменить формулировку C-функции так, чтобы эти самые 3/4 сделать намного ближе к 1. Интересно посмотреть как со стороны 1+, так и со стороны 1-. Ниже описаны оба эксперимента.
Эксперимент 1.Возьмём C-функцию и, скажем так, обрежем в ней "высокие частоты". По-прежнему нечётное число n переходит в
; число, которое делится на
(и для более высоких степеней), также переходит в
; чётные числа меньшей чётности -- в
.
(Формальная запись и примеры)
Формальное обозначение:
Примеры C32-последовательностей для стартовых номеров 7, 15, 331:
7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 (совпадает с оригинальной C-последовательностью).
15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 481, ..., 23 -- (C32-цикл длиной 194).
331, 994, 497, 1492, 746, 373, 1120, 3361, 10084, 5042, 2521, 7564, 3782, 1891, 5674, 2837, 8512, ... (предположительно расходящаяся -- прослежено до 20000-значного числа).
Для C32-функции аналогичный коэффициент среднего ожидаемого прироста становится чуть больше 1 (~1.005) и, действительно, для многих (около 1% в начале натурального ряда) стартовых
C32-последовательности предположительно расходятся. Я говорю "предположительно", поскольку доказать расходимость, например, C32(331) вряд ли проще, чем всю оригинальную C-гипотезу.
Эксперимент 2.Построим по аналогии с предыдущим C64-функцию.
Здесь соответствующий коэффициент среднего ожидаемого прироста меньше 1 (около 0,88) и найти расходящуюся последовательность не удалось (просмотрено несколько млрд чисел в начале натурального ряда). Нетривиальных циклов здесь обнаружено не было.
Как видим, ничего неожиданного -- оба эксперимента идеально ложатся в вероятностную трактовку гипотезы.