Показать неизмеримость функции.

[Oktyabrina]

Показать, что из того что$f^2$ измеримо на E, еще не следует что $f $ измеримо на E. Рассматривается функция на $[-1;1]$.То что $f^2$измеримо на этом отрезке я показала, а как показать что f неизмерима на этом отрезке?

[ewert]

Возьмите функцию, равную плюс единице на некотором неизмеримом множестве и минус единице на его дополнении.

[Integrall]

ewert в сообщении #568332 писал(а):

на некотором неизмеримом множестве

с рассмотрением аксиомы выбора появляются «математические монстры» — неизмеримые по Лебегу множества.
А если мы запрещаем пользоваться аксиомой выбора?

[ewert]

Integrall в сообщении #568503 писал(а):

А если мы запрещаем пользоваться аксиомой выбора?

Не имеет значения. Сама постановка задачи подразумевает существование неизмеримых множеств. И тогда уже не важно -- допускаем ли мы их существование или не допускаем.

-- Пн май 07, 2012 22:24:16 --

Integrall в сообщении #568503 писал(а):

«математические монстры» — неизмеримые по Лебегу множества.

Кстати, это вовсе не "монстры". Было бы наивно надеяться, что любая наша конструкция априори реализуема. И вот тут-то аксиома выбора и даёт по башке. Если с принятием этой аксиомы возникают артефакты -- и если эта аксиома неопровержима (хоть и недоказуема) -- то надеяться на доказательство всеобщей измеримости просто наивно.

Собственно, в этом и ценность аксиомы выбора: она заранее отсекает тупиковые ветви. И больше ни в чём.