Доказательство, матричная норма (Численные методы)

[krupa]

Пусть$A \in M_{n\cdot m}, x \in R^n, y \in R^n $. Докажите
$\lVert A \rVert_2= \max\limits_{\lVert x \rVert_2=1,\lVert y \rVert_2=1}\lvert y^T Ax \rvert $

Подскажите как можно это доказать, или в каком учебнике. Заранее признателен

[krupa]

нашёл в Бахалове

[ewert]

Интересно, а зачем там модуль, раз уж всё вещественно?..

Не знаю, как в Бахвалове, а в принципе всё достаточно банально. По определению $\|A\|= \max\limits_{\|x\|=1}\|Ax \|$, и раз уж максимум достигается, то $\|A\|=\|Ax_0\|$ на некотором векторе $x_0$ с единичной нормой. Тогда равенство $\|A\|=y^TAx_0$ выполняется для единичного вектора $y=\dfrac{Ax_0}{\|Ax_0\|}$, а что левая часть не меньше правой для всех единичных векторов -- вовсе очевидно.