2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказательство, матричная норма (Численные методы)
Сообщение06.05.2012, 17:06 
Пусть$A \in M_{n\cdot m},  x \in R^n, y \in R^n $. Докажите
$\lVert A \rVert_2= \max\limits_{\lVert x \rVert_2=1,\lVert y \rVert_2=1}\lvert y^T Ax \rvert $

Подскажите как можно это доказать, или в каком учебнике. Заранее признателен

 
 
 
 Re: Доказательство, матричная норма (Численные методы)
Сообщение06.05.2012, 19:21 
нашёл в Бахалове

 
 
 
 Re: Доказательство, матричная норма (Численные методы)
Сообщение07.05.2012, 08:59 
Интересно, а зачем там модуль, раз уж всё вещественно?..

Не знаю, как в Бахвалове, а в принципе всё достаточно банально. По определению $\|A\|= \max\limits_{\|x\|=1}\|Ax \|$, и раз уж максимум достигается, то $\|A\|=\|Ax_0\|$ на некотором векторе $x_0$ с единичной нормой. Тогда равенство $\|A\|=y^TAx_0$ выполняется для единичного вектора $y=\dfrac{Ax_0}{\|Ax_0\|}$, а что левая часть не меньше правой для всех единичных векторов -- вовсе очевидно.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group