Инвариантные меры на группе перестановок

[Tigran K. Kalaidjian]

Ищу литературу по инвариантным мерам на группе перестановок в конфигурационном пространстве. Пока безуспешно . Посоветуйте, пожалуйста, что-нибудь.

[Dan_Te]

На локально компактной топологической абелевой группе существует единственная с точностью до мультипликативной константы мера, инвариантная относительно групповой операции (т.н. мера Хаара).

Вам по этой теме надо?

[x0rr]

Тигран
а что из себя представляет группа перестановок, скажем, на $\mathbb{R}^3$?

[x0rr]

Dan_Te писал(а):

На локально компактной топологической абелевой группе существует единственная с точностью до мультипликативной константы мера, инвариантная относительно групповой операции (т.н. мера Хаара).?

а на дискретной группе перестановок разве можно каким-то образом ввести понятие сходимости, то есть наделить её топологией?

[Dan_Te]

Хороший вопрос =) Ввести-то можно, но вот какой в этом смысл... А группа к тому же еще и неабелева.
Видимо, имеются в виду не инвариантные меры на группе, а меры, инвариантные относительно группы перестановок, действующей на конфигурационном пространстве.
А что за конфигурационное пространство? Если это $\mathbb R^n$ или $\mathbb R^\infty$, то понятно, что там за перестановки, а если какое-нибудь другое, то уже не очень понятно.

[Tigran K. Kalaidjian]

Dan_Te писал(а):

Видимо, имеются в виду не инвариантные меры на группе, а меры, инвариантные относительно группы перестановок, действующей на конфигурационном пространстве.

Да, видимо, я неправильно сформулировал. Меры, инвариантные относительно группы перестановок.

Dan_Te писал(а):

А что за конфигурационное пространство?

$\mathbb R^n$.
$\mathbb{R}^\infty$ - это следующий этап, его мне тоже нужно рассмотреть, но позже.
Чую, что случай $\mathbb R^6$ должен быть рассмотрен где-то в гидродинамике. Но где?..

[x0rr]

Гамильтоновский формализм для нелинейных волн

В.Е. Захаров, Е.А. Кузнецов
Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН,

Представлен обзор по гамильтоновскому описанию систем гидродинамического типа для плазмы, гидродинамики и магнитной гидродинамики. Основное внимание уделяется проблеме введения канонических переменных. Указана связь с другими способами введения гамильтоновской структуры, в частности, с помощью скобок Пуассона, выраженных в естественных переменных. Показано, что вырожденность неканонических скобок Пуассона связана с существованием симметрии - группы переобозначений лагранжевых маркеров жидких частиц. Все известные теоремы о сохранении вихря (теоремы Коши, Эртеля, Томсона (Кельвина), вмороженности и сохранения топологического инварианта Хопфа) являются следствием данной симметрии. Введены канонические переменные в бесстолкновительную кинетику плазмы. Обсуждается вопрос о гамильтоновских структурах уравнений Бенни и уравнения, описывающего волны Россби. Введена гамильтоновская структура в уравнение Деви-Стюартсона. Представлен также общий метод исследования слабонелинейных волн, основанный на классической теории возмущений и редукции гамильтонианов.

http://www.ufn.ru/ufn97/ufn97_11/Russian/r9711a.pdf

вопрос Тиграну и всем
а как ввести непрерывный аналог группы перестановок на $\mathbb{R}$?

[x0rr]

а еще интересна 1-подгруппа "непрерывной группы перестановок", какими заменами она сводится к сдвигам?

[Аурелиано Буэндиа]

x0rr писал(а):

а как ввести непрерывный аналог группы перестановок на $\mathbb{R}$?

Да вопрос интересный. Я конечно не специалист по теории групп. Но на дискретном
наборе чисел (например из $\mathbb{N}$) группа перестановок это множестно перестановок
\left( \begin{array}{ccc} 1& ... & n \\ x_1 & ... & x_n \end{array}\right)
А что понимать в случае $\mathbb{R}$?
По смыслу это должно быть произвольное взаимно однозначное отображение
$\mathbb{R}{\rightarrow}\mathbb{R}$. Но как его записать в
виде функции $f(x),\ \forall x\in \mathbb{R}$? И если это возможно то какому пространству будет принадлежать
эта функция?

[Someone]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

x0rr писал(а):

а как ввести непрерывный аналог группы перестановок на $\mathbb{R}$?

Да вопрос интересный. Я конечно не специалист по теории групп. Но на дискретном
наборе чисел (например из $\mathbb{N}$) группа перестановок это множестно перестановок
\left( \begin{array}{ccc} 1& ... & n \\ x_1 & ... & x_n \end{array}\right)
А что понимать в случае $\mathbb{R}$?
По смыслу это должно быть произвольное взаимно однозначное отображение
$\mathbb{R}{\rightarrow}\mathbb{R}$. Но как его записать в
виде функции $f(x),\ \forall x\in \mathbb{R}$? И если это возможно то какому пространству будет принадлежать
эта функция?

Пусть $X$ и $Y$ - два топологических пространства. Обозначим $Y^X$ множество всех непрерывных отображений $f\colon X\to Y$. Снабдим множество $Y^X$ так называемой бикомпактно-открытой топологией. Пусть $f_0\in Y^X$, $\{F_1,F_2,\dots,F_n\}$ - произвольный конечный набор бикомпактных подмножеств пространства $X$, $\{U_1,U_2,\dots,U_n\}$ - набор открытых подмножеств пространства $Y$, удовлетворяющих условию $f_0F_k\subseteq U_k$ при всех $k\in\{1,2,\dots,n\}$; обозначим

$$V(F_1,F_2,\dots,F_n,U_1,U_2,\dots,U_n)=\{f\in Y^X:fF_k\subseteq U_k\text{ для всех }k\in\{1,2,\dots,n\}\}$$

.
По определению бикомпактно-открытой топологии, множества $V(F_1,F_2,\dots,F_n,U_1,U_2,\dots,U_n)$ образуют базу окрестностей элемента $f_0$.

Подробнее можно посмотреть в книге Р.Энгелькинга, параграфы 2.6 и 3.4.

Теперь, если взять $X=Y=R$ и рассмотреть множество $H(\mathbb R,\mathbb R)$ гомеоморфизмов $\mathbb R\xrightarrow{\text{на}}\mathbb R$ как подмножество пространства $\mathbb {R^R}$, то, может быть, и получится то, что требуется? Здесь только нужно подумать, какую топологию взять на множестве $\mathbb R$. Если эта топология хаусдорфова и локально бикомпактна, то $H(\mathbb R,\mathbb R)$ будет топологической группой.

Если взять стандартную топологию $\mathbb R$, то получится, вероятно, слишком бедный набор перестановок - только непрерывные возрастающие или убывающие функции с бесконечными пределами при $x\to\pm\infty$. Такое ограничение при рассмотрении перестановок кажется чрезмерным. Видимо, $\mathbb R$ следует снабдить дискретной топологией, в которой все отображения $\mathbb R\to\mathbb R$ непрерывны. Тогда топологическая группа $H(\mathbb R,\mathbb R)$ будет состоять в точности из всех перестановок множества $\mathbb R$.

[Аурелиано Буэндиа]

Someone писал(а):

Если взять стандартную топологию $\mathbb R$, то получится, вероятно, слишком бедный набор перестановок - только непрерывные возрастающие или убывающие функции с бесконечными пределами при $x\to\pm\infty$. Такое ограничение при рассмотрении перестановок кажется чрезмерным. Видимо, $\mathbb R$ следует снабдить дискретной топологией, в которой все отображения $\mathbb R\to\mathbb R$ непрерывны. Тогда топологическая группа $H(\mathbb R,\mathbb R)$ будет состоять в точности из всех перестановок множества $\mathbb R$.

Someone, спасибо. Я понял. (Насколько физик может понять математика )
Пожалуйста посмотрите тему http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=5721#5721

[x0rr]

да.. Someone рулит.. не вопрос (-: то.. что надо..
я тут еще подумал.. мне кажется надо определять группу перестановок не на всей действительной оси.. а в окрестности нуля (или единицы.. как на самом деле будет удобнее?).. какой будет генератор у соответствующей группы Ли?..