Точки в шаре.

[hippie]

В шаре радиуса 6 находится 20000 точек.
Доказать, что из этих точек можно выбрать 10, попарные расстояния между которыми меньше 1.

[Sirion]

Что-то эта задача у меня не движется... Решается через разрезание шара? Или какая-то более хитрая идея?

[Padawan]

Неужели этот шар трудно разрезать на 2000 (!) частей, диаметр которых меньше 1 ?

[Sirion]

Возможно, и не трудно. Но не получается. Да, и резать нужно не на 2000, а на 2222 части.

[Padawan]

Sirion
Почему на 2222 ? Откуда это число? 2000=20000/10.

[Sirion]

20000 = 2222*9 + 2
Если бы в каждой части было бы не более 9 точек, то всего точек получилось бы не более 19998. Противоречие.

[hippie]

Sirion в сообщении #567592 писал(а):

Решается через разрезание шара?

Моё решение другое, НЕ через разрезание.

И я очень сомневаюсь, что нужное разрезание можно придумать. Хотя, всё может быть.

[staric]

Че тут пилить... Вроде бы, и 2192 кубика со стороной $\sqrt{3}/2$ хватает, чтобы покрыть шар радиуса 6... В центре - куб 10х10х10 кубиков, на гранях - нашлепки по 10х10+7х7 кубиков.

[hippie]

У кубиков со стороной $\frac {\sqrt 3}2$ диаметр равен $\sqrt{3}\cdot \frac {\sqrt 3}2 = \frac 32 > 1.$

[Sirion]

Там получается довольно маленький дефект объёма. Если разрезание и возможно, то его элементы должны иметь форму, близкую к сферической.

[Профессор Снэйп]

Тут скорее не разрезания, а покрытия... Не обязательно ведь, чтоб части не пересекались!

Короче, можно ли покрыть шар радиуса $6$ двумя тысячами двести двадцатью двумя шарами диаметра $1$? По объёмам всё нормально, $12^3 = 1728 < 2222$. Надо думать дальше...

[Sirion]

Вот я думал над этим, долго думал. И мне кажется, что этот путь таки порочен.

[Padawan]

Рассмотрим шары радиуса 1/2 с центрами в данных точках. Все они лежат в шаре радиуса $6.5$. Так как $20000\cdot 0.5^3/6.5^3=9.103$, то в шаре радиуса $6.5$ найдется точка, принадлежащая $10$ шарам.

[Doctor Boom]

Всегда найдется шар радиуса 1/2 внутри нашего большого шара, где будет минимум $20000\cdot \frac{0.5^3}{6^3}=11.57 \approx 12>10$ точек

[Padawan]

Doctor Boom в сообщении #1619814 писал(а):

Всегда найдется шар радиуса 1/2 внутри нашего большого шара, где будет минимум $20000\cdot \frac{0.5^3}{6^3}=11.57 \approx 12>10$ точек

Не понятно, почему! Если центры шаров радиуса 1/2 лежат на границе нашего большого шара, то меньше половины их обьема попадает в наш шар радиуса 6.