Отделено от темы Интересное замечание или даже открытие

[VPopov]

Отделено от темы http://dxdy.ru/topic55357.html.

Уважаемый Ранис, уважаемые гуру форума! Позвольте подбросить Вам еще одну задачку, касающуюся конуса, а именно: какая кривая получается при косом сечении конуса? Как известно, со времен Аполония Пергского (это, кажется, III в. до Р. Х.) косым сечением конуса принята кривая второго порядка - эллипс. Дальнейшие успехи в обосновании этой кривой (я подчеркиваю - при косом сечении) новыми геометрическими методами: проективным (Ж. Дезарг) и в особенности координатным (Р. Декарт, П. Ферма) неизменно подтверждали это решение. Но ранее этих великих математиков художник и график Альбрехт Дюрер сказал: косое сечение конуса - аерлиния (яйцеобразная), но не эллипс. И это совершенно очевидно, так как кривизна конической поверхности увеличивается от основания к вершине. Этот факт, тем не менее, первым не признал И. Кеплер, а за ним и все остальные математические авторитеты по сей день. В программе DX MAX косое сечение конуса проектируется (по всем правилам начерталки) как идеальный эллипс, но если внимательно посмотреть на саму последовательность проектирования, то она состоит из следующих шагов: сначала конус режется плоскостью, параллельной основанию (получается окружность), а затем этот круг поворачивается на тот угол, под которым наклонена к вершине конуса секущая плоскость. Так кто прав: Аполоний, Дезарг, Декарт и DX MAX или художник А. Дюрер?

[migmit]

VPopov в сообщении #567431 писал(а):

Но ранее этих великих математиков художник и график Альбрехт Дюрер сказал: косое сечение конуса - аерлиния (яйцеобразная), но не эллипс. И это совершенно очевидно, так как кривизна конической поверхности увеличивается от основания к вершине.

Это, пожалуй, покруче, чем $0.(9)$.

[AKM]

VPopov,

а Вы уверены, что участники предыдущего обсуждения закончили его?
И что они захотят переключиться на Вашу задачу?
И что попеременное обсуждение двух задач в одной теме --- это прекрасное композиционное решение?

-- 05 май 2012, 11:15 --

Сообщение VPopov (с признаками пурги) будет отделено.

[PAV]

VPopov в сообщении #567431 писал(а):

Так кто прав: Аполоний, Дезарг, Декарт и DX MAX или художник А. Дюрер?

Прав тот, кто предъявит аккуратное математическое доказательство.

[Integrall]

VPopov в сообщении #567431 писал(а):

Так кто прав: Аполоний, Дезарг, Декарт и DX MAX или художник А. Дюрер?

как не странно правы и те и другие. Одни правы формально, другие персептивно. Альбрехт Дюрер впервые систематически изучал перспективу и признавал необходимость отклонений от точной перспективы в рисунке. Рисунок, нарисованный под линейку, кажется фальшивым. Такое восприятие точной перспективы идет в диссонанс с нашим виденьем окружающего мира и связано с несовершенством зрения. Параллельные линии в перспективе кажутся расходящимися, так что оспаривать постулаты Евклида?

[hurtsy]

PAV в сообщении #567518 писал(а):

Прав тот, кто предъявит аккуратное математическое доказательство.

Во-первых не любое сечение прямого кругового конуса являются эллипсами. Есть ещё параболы и гиперболы.
Во-вторых в любой точке конической поверхности за исключением вершины есть есть континуум кривизн между нулём и кривизной сечения перпендикулярного к образующей в данной точке.

VPopov в сообщении #567431 писал(а):

И это совершенно очевидно, так как кривизна конической поверхности увеличивается от основания к вершине.

Хочется увидеть ваше определение "кривизны конической поверхности" и как сия кривизна связана с кривизной плоского сечения.

Integrall в сообщении #567567 писал(а):

Такое восприятие точной перспективы идет в диссонанс с нашим виденьем окружающего мира и связано с несовершенством зрения.

Скорее не столько с несовершенством, сколько с дискретностью. А от дискретности нам некуда деваться.
С уважением,

[vicvolf]

Integrall в сообщении #567567 писал(а):

Альбрехт Дюрер впервые систематически изучал перспективу и признавал необходимость отклонений от точной перспективы в рисунке. Рисунок, нарисованный под линейку, кажется фальшивым. Такое восприятие точной перспективы идет в диссонанс с нашим виденьем окружающего мира и связано с несовершенством зрения. Параллельные линии в перспективе кажутся расходящимися, так что оспаривать постулаты Евклида?

Нет, оспаривать не надо, а надо четко договориться, что рассмотрение ведется в рамках геометрии Евклида, тогда о перспективах Дюрера говорить не надо.
Кстати перспективы бывают разные. У Вас параллельные прямые в перспективе расходятся, а у меня сходятся!

[ScaN]

vicvolf в сообщении #567637 писал(а):

Нет, оспаривать не надо, а надо четко договориться, что рассмотрение ведется в рамках геометрии Евклида, тогда о перспективах Дюрера говорить не надо.
Кстати перспективы бывают разные. У Вас параллельные прямые в перспективе расходятся, а у меня сходятся!

Так, подождите, почему Вы противопоставляете Евклидову геометрию и перспективу? Перспектива - это один из способов проекции пространства на плоскость (точнее, поверхность), который аксиом геометрии не отменяет: параллельные прямые не пересекаются, пересекаются их проекции.

[VPopov]

hurtsy в сообщении #567603 писал(а):

Хочется увидеть ваше определение "кривизны конической поверхности" и как сия кривизна связана с кривизной плоского сечения.

Кривизна образующей цилиндра $1/R$, где R - радиус основания и величина эта постоянная, а кривизна образующей прямого кругового конуса, естественно, переменная и увеличивается от основания к вершине. В любом коническом сечении, т. е. в линии, которая получается сечением конуса плоскостью, не проходящей через его вершину, указанная переменная кривизна сохраняется. Именно поэтому, когда: 1) секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, то в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола 2) секущая плоскость параллельна высоте конуса, то в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - гипербола; 3) секущая плоскость пересекает все образующие конуса, то линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - аерлиния (яйцеобразная, по Дюреру). Эллипс же (или часть эллипса, если секущая пересекает не все образующие) получается при пересечении цилиндра, в который, допустим, вписан наш конус. Никакого здесь формального (по Гильберту) доказательства не то, что не требуется, а оно просто невозможно, потому что аксиоматика Евклида-Архимеда - содержательная. Ведь термин "аксиоматический" (и это подчеркивал сам Гильберт) употребляется в широком и узком смыслах. Аксиоматически (в широком смысле) построены геометрия Евклида, механика Ньютона, электродинамика Максвелла и даже СТО и ОТО. Усиление, которая аксиоматика получила впервые в "Основаниях геометрии" Гильберта (ни Евклид, ни Аполоний о такой суровой аксиоматике, которая изгоняет из теории какую бы то ни было наглядность, и не помышляли) заключается в том, что из всего материала реальных представлений, используемого в качестве базы данных для формирования базы знаний данной теории, принимается в расчет лишь то, что в виде некоего экстракта в аксиомах, записанных посредством конвенциональных (согласованных) символов. В геометрии Гильберта существуют только "точки", "прямые" и "плоскости" и некоторые договорные отншения между ними. Ни эллипсов, а, тем более, сложных овалов в формализме Гильберта не выразить, в нем существует только исчисление предикатов. А теперь заметьте, что кривизна первых двух линий - параболы и гиперболы - вырождаются в прямые, т. е. центр их кривизны уходят в бесконечность. Так почему, уважаемые коллеги, Вы полагаете, что этого же самого не произойдет с замкнутой кривой, если мы секущую расположим неподалеку от вершины, а далее пусть она устремляется куда подальше - условно в бесконечность. Именно такую перспективу и представлял себе Дюрер.

AKM в сообщении #567501 писал(а):

VPopov,а Вы уверены, что участники предыдущего обсуждения закончили его?
И что они захотят переключиться на Вашу задачу?
И что попеременное обсуждение двух задач в одной теме --- это прекрасное композиционное решение?

-- 05 май 2012, 11:15 --

Уважаемый Модератор, вот за это прошу извинения, впредь буду осмотрительнее.

AKM:

Дикое цитирование исправлено.

Используйте кнопку Предпросмотр!

[Jnrty]

VPopov, Вы пишете чушь, да ещё от имени модератора.

[VPopov]

Jnrty в сообщении #567789 писал(а):

VPopov, Вы пишете чушь, да ещё от имени модератора.

Я пишу от себя, а если что-то не так формально получилось, то, как говорится, звиняйте дядько. Насчет того же, чушь это или нет - надо посмотреть. Повторяю: я рассуждение веду в рамках содержательной аксиоматики, где базы данных (основные понятия) вводятся со ссылкой на имеющийся опыт. Тогда объясните школьнику, почему в сечении прямого конуса должен быть эллипс, если он, произведя эксперимент (допустим наискосок разрежет морковку), увидит на плоскости очертания яйцеобразной замкнутой линии.

[hurtsy]

VPopov в сообщении #567807 писал(а):

(допустим наискосок разрежет морковку)

С вашей свободой и раскрепощенностью в рассуждениях, очень легко показать, что сечение произвольно выбранного чемодана - яйцеобразно. Прошу не обижаться, ничего личного . С уважением,

[PAV]

VPopov

Коническое сечение

Коническое сечение является кривой второго порядка. Все возможные кривые второго порядка классифицированы и описаны. Никаких "яйцеобразных кривых" там нет в принципе.

[shwedka]

VPopov в сообщении #567807 писал(а):

Тогда объясните школьнику, почему в сечении прямого конуса должен быть эллипс, если он, произведя эксперимент (допустим наискосок разрежет морковку), увидит на плоскости очертания яйцеобразной замкнутой линии.

Я объясню, что его дядя обманул, выдав морковку за конус, и эксперимент ошибочный. Пусть сначала обточит морковку до конуса, с прямыми образующими, а потом режет. И в сечении эллипс получится, за милу душу.

[vorvalm]

VPopov
Я извиняюсь, в какой части сечения конуса кривизна кривой больше, в верхней или в нижней?