Теория групп, ряд Жордана-Гёльдера

[JMH]

Показать, что существуют две неизоморфные группы четвертого порядка, факторы рядов Жордана-Гёльдера которых изоморфны.

Нашёл две неизоморфные группы 4-го порядка, заданные таблицами умножения:
$\setcounter{MaxMatrixCols}{20}\begin{matrix}&e&a&b&c&\\e&e&a&b&c&\\a&a&e&c&b&\\b&b&c&e&a&\\c&c&b&a&e&\end{matrix}$

и

$\setcounter{MaxMatrixCols}{20}\begin{matrix}&e&a&b&c&\\e&e&a&b&c&\\a&a&c&e&b&\\b&b&e&c&a&\\c&c&b&a&e&\end{matrix}$

Никаких нормальных подгрупп, кроме тривиальных, не нашёл, соответственно, факторы их рядов Жордана-Гёльдера изоморфны. Но ведь не может быть, чтобы упражнение подразумевало такой примитивный результат Подскажите пожалуйста, как следовало делать это упражнение?
Большое спасибо.

[bot]

А сколько всего групп 4-го порядка с точностью до изоморфизма, не две ли? А нормальные подгруппы в каждой Вы зря не нашли - абелева группа может быть простой только в случае простого порядка.

[JMH]

Затрудняюсь посчитать, сколько всего может быть групп из четырёх элементов... при коммутативном законе имеется $4^{\binom{4}{2}}=4096$ отображений, при некоммутативном $4^{(4)_2}=16777216$; как найти, сколько среди них удовлетворяет аксиомам группы?
А касательно подгрупп это точно, зря не увидел - в первой группе двухэлементные множества $\{e,a\},\{e,b\},\{e,c\}$ образуют нормальные подгруппы, нужно ещё раз подумать...

-- Пн май 07, 2012 13:57:32 --

Ага, во второй группе тоже имеется три нормальные подгруппы: $\{e,c\},\{e,a,c\},\{e,b,c\}$. Полагаю, осталась чисто механическая работа по опрделению факторов.

[Xaositect]

JMH в сообщении #568591 писал(а):

Затрудняюсь посчитать, сколько всего может быть групп из четырёх элементов... при коммутативном законе имеется $4^{\binom{4}{2}}=4096$ отображений, при некоммутативном $4^{(4)_2}=16777216$; как найти, сколько среди них удовлетворяет аксиомам группы?

Как грубо. :)
Во-первых, в группе должнв быть единица $e$. То есть уже свободных клеточек не 16, а 9.
Далее, по теореме Лагранжа $a^4 = e$ для любого элемент $a$ группы. Если есть элемент порядка 4, то группы циклическая, если нет - то все они порядка 2 и она $Z_2^2$

Цитата:

Ага, во второй группе тоже имеется три нормальные подгруппы: $\{e,c\}$, $\{e, a, c\}$, $\{e,b,c\}$. Полагаю, осталась чисто механическая работа по опрделению факторов.

А это Вы поспешили. Не может быть у четырехэлементной группы трехэлементных подгрупп.

[JMH]

Не подумал - порядок подгруппы должен быть делителем порядка группы. Отсюда следует, что таблица умножения выше - кривая...

[JMH]

Я правильно понял, что на множестве из четырёх элементов существует всего две неизоморфные групповые структуры: $Z_2^2$ и $Z_4$?

[bot]

Да.

[JMH]

Большое спасибо!