2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Теория групп, ряд Жордана-Гёльдера
Сообщение05.05.2012, 01:38 
Аватара пользователя
Показать, что существуют две неизоморфные группы четвертого порядка, факторы рядов Жордана-Гёльдера которых изоморфны.

Нашёл две неизоморфные группы 4-го порядка, заданные таблицами умножения:
$\setcounter{MaxMatrixCols}{20}\begin{matrix}&e&a&b&c&\\e&e&a&b&c&\\a&a&e&c&b&\\b&b&c&e&a&\\c&c&b&a&e&\end{matrix}$

и

$\setcounter{MaxMatrixCols}{20}\begin{matrix}&e&a&b&c&\\e&e&a&b&c&\\a&a&c&e&b&\\b&b&e&c&a&\\c&c&b&a&e&\end{matrix}$

Никаких нормальных подгрупп, кроме тривиальных, не нашёл, соответственно, факторы их рядов Жордана-Гёльдера изоморфны. Но ведь не может быть, чтобы упражнение подразумевало такой примитивный результат :? Подскажите пожалуйста, как следовало делать это упражнение?
Большое спасибо.

 
 
 
 Re: Теория групп, ряд Жордана-Гёльдера
Сообщение05.05.2012, 04:31 
Аватара пользователя
А сколько всего групп 4-го порядка с точностью до изоморфизма, не две ли? А нормальные подгруппы в каждой Вы зря не нашли - абелева группа может быть простой только в случае простого порядка.

 
 
 
 Re: Теория групп, ряд Жордана-Гёльдера
Сообщение07.05.2012, 23:44 
Аватара пользователя
Затрудняюсь посчитать, сколько всего может быть групп из четырёх элементов... при коммутативном законе имеется $4^{\binom{4}{2}}=4096$ отображений, при некоммутативном $4^{(4)_2}=16777216$; как найти, сколько среди них удовлетворяет аксиомам группы?
А касательно подгрупп это точно, зря не увидел - в первой группе двухэлементные множества $\{e,a\},\{e,b\},\{e,c\}$ образуют нормальные подгруппы, нужно ещё раз подумать...

-- Пн май 07, 2012 13:57:32 --

Ага, во второй группе тоже имеется три нормальные подгруппы: $\{e,c\},\{e,a,c\},\{e,b,c\}$. Полагаю, осталась чисто механическая работа по опрделению факторов.

 
 
 
 Re: Теория групп, ряд Жордана-Гёльдера
Сообщение08.05.2012, 00:41 
Аватара пользователя
JMH в сообщении #568591 писал(а):
Затрудняюсь посчитать, сколько всего может быть групп из четырёх элементов... при коммутативном законе имеется $4^{\binom{4}{2}}=4096$ отображений, при некоммутативном $4^{(4)_2}=16777216$; как найти, сколько среди них удовлетворяет аксиомам группы?
Как грубо. :)
Во-первых, в группе должнв быть единица $e$. То есть уже свободных клеточек не 16, а 9.
Далее, по теореме Лагранжа $a^4 = e$ для любого элемент $a$ группы. Если есть элемент порядка 4, то группы циклическая, если нет - то все они порядка 2 и она $Z_2^2$
Цитата:
Ага, во второй группе тоже имеется три нормальные подгруппы: $\{e,c\}$, $\{e, a, c\}$, $\{e,b,c\}$. Полагаю, осталась чисто механическая работа по опрделению факторов.
А это Вы поспешили. Не может быть у четырехэлементной группы трехэлементных подгрупп.

 
 
 
 Re: Теория групп, ряд Жордана-Гёльдера
Сообщение08.05.2012, 00:56 
Аватара пользователя
Не подумал :oops: - порядок подгруппы должен быть делителем порядка группы. Отсюда следует, что таблица умножения выше - кривая...

 
 
 
 Re: Теория групп, ряд Жордана-Гёльдера
Сообщение08.05.2012, 04:09 
Аватара пользователя
Я правильно понял, что на множестве из четырёх элементов существует всего две неизоморфные групповые структуры: $Z_2^2$ и $Z_4$?

 
 
 
 Re: Теория групп, ряд Жордана-Гёльдера
Сообщение08.05.2012, 05:16 
Аватара пользователя
Да.

 
 
 
 Re: Теория групп, ряд Жордана-Гёльдера
Сообщение08.05.2012, 05:31 
Аватара пользователя
Большое спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group