Мера и непрерывное отображение

[Haze]

Возник такой вопрос. Пусть $\varphi$ - непрерывное отображение, и пусть $M$ - множество "малой" меры, то есть $\mu(M)<\varepsilon$. Верно ли, что мера образа это множества при отображении $\varphi$ тоже будет достаточно малой, т.е. $\mu(\varphi(M))<\varepsilon'$?

[lena7]

Канторово множество можно непрерывно сюръективно отобразить в отрезок $[0,1]$.

[Хорхе]

Собственно, "этот факт" (в кавычках потому, что его еще надо как следует сформулировать) верен тогда и только тогда, когда $\varphi$ абсолютно непрерывно.

[Haze]

А в предположении об абсолютной непрерывности, это утверждение можно найти в книгах или оно требует доказательства?

-- 04.05.2012, 22:02 --

Пытаюсь сейчас найти четкое определение "абсолютно непрерывного отображения", но как-то безуспешно. Единственно, нашла у Халмоша-Сандера:

Цитата:

Предположим, что $X$ и $X'$ - пространства с мерами $\mu$ и $\mu'$ и пусть $\varphi$ - отображение $X$ в $X'$. Отображение $\varphi$ абсолютно непрерывно означает, что $\mu'\varphi^{-1}(M)=0$ как только $\mu(M)=0$, ($M$-измеримое подмножество $X$), т.е. мера $\mu'\varphi^{-1}$ абсолютно непрерывна по отношению к $\mu$ .

Вы это подразумеваете под абсолютно непрерывным отображением?