2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Мера и непрерывное отображение
Сообщение04.05.2012, 21:20 
Аватара пользователя
Возник такой вопрос. Пусть $\varphi$ - непрерывное отображение, и пусть $M$ - множество "малой" меры, то есть $\mu(M)<\varepsilon$. Верно ли, что мера образа это множества при отображении $\varphi$ тоже будет достаточно малой, т.е. $\mu(\varphi(M))<\varepsilon'$?

 
 
 
 Re: Мера и непрерывное отображение
Сообщение04.05.2012, 21:41 
Канторово множество можно непрерывно сюръективно отобразить в отрезок $[0,1]$.

 
 
 
 Re: Мера и непрерывное отображение
Сообщение04.05.2012, 22:30 
Аватара пользователя
Собственно, "этот факт" (в кавычках потому, что его еще надо как следует сформулировать) верен тогда и только тогда, когда $\varphi$ абсолютно непрерывно.

 
 
 
 Re: Мера и непрерывное отображение
Сообщение04.05.2012, 22:48 
Аватара пользователя
А в предположении об абсолютной непрерывности, это утверждение можно найти в книгах или оно требует доказательства?

-- 04.05.2012, 22:02 --

Пытаюсь сейчас найти четкое определение "абсолютно непрерывного отображения", но как-то безуспешно. Единственно, нашла у Халмоша-Сандера:
Цитата:
Предположим, что $X$ и $X'$ - пространства с мерами $\mu$ и $\mu'$ и пусть $\varphi$ - отображение $X$ в $X'$. Отображение $\varphi$ абсолютно непрерывно означает, что $\mu'\varphi^{-1}(M)=0$ как только $\mu(M)=0$, ($M$-измеримое подмножество $X$), т.е. мера $\mu'\varphi^{-1}$ абсолютно непрерывна по отношению к $\mu$ .


Вы это подразумеваете под абсолютно непрерывным отображением?

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group