Имеет ли эта последовательность предел?

[_mv]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Есть у меня такая задачка:

"Пусть $a_n$ - ограниченная последовательность вещественных чисел. Известно, что для каждого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $|a_{n+1}-a_n|<1/n$
Обязательно ли эта последовательность имеет предел? Если нет, то приведите пример".

Мне почему-то кажется, что ответ на этот вопрос - нет. Но привести пример такой последовательности не могу.

Рассуждение: пусть существует $\lim a_n =a $. Неравенство из условия легко преобразуется в такое: $-1/n+a_n<a_{n+1}<1/n+a_n$.
Чтобы без нареканий применить теорему о двух милиционерах, мы можем немного ослабить условие и взять нестрогое неравенство: $-1/n+a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant 1/n+a_n$
Теперь, переходя к пределу и спокойно применяя теорему о двух милиционерах (свойство предела, связанное с неравенствами), получаем верное неравенство $a \leqslant a \leqslant a$.
Ладно, противоречий нет.
Пробуем с другой стороны. Раз последовательность ограниченная, значит, по теореме Больцано-Вейерштрасса у нее существует частичный предел. Пробуем рыть через определение фундаментальной последовательности (последовательности Коши).
Так как $\mathbb{R}$ - полное метрическое пространство, то в нем всякая фундаментальная последовательность сходится (и всякая сходящаяся фундаментальна - само собой).

Из неравенства в условии легко получаем $|a_{n+2}-a_n|<2/n$ и $|a_{n+k}-a_n|<k/n$.

А теперь я пытаюсь установить или опровергнуть фундаментальность этой последовательности, но ничего не выходит.
Пожалуйста, подскажите, как решается задача.

Спасибо.

[Хорхе]

А неограниченную последовательность Вы придумать можете?

[Integrall]

_mv в сообщении #567350 писал(а):

Мне почему-то кажется, что ответ на этот вопрос - нет. Но привести пример такой последовательности не могу.

вам правильно кажется. В качестве примера подойдет гармонический ряд $a_n = \sum_{k=1}^n 1/k$

[ewert]

Integrall в сообщении #567360 писал(а):

В качестве примера подойдет гармонический ряд $a_n = \sum_{k=1}^n 1/k$

Идея разумна, но в качестве примера -- совершенно не подойдёт.

[Integrall]

ewert в сообщении #567363 писал(а):

Идея разумна, но в качестве примера -- совершенно не подойдёт.

sorry, пропустил условие ограниченности последовательности. :(

В общем ясно, как построить искомую последовательность. В этом деле должна помочь идея с гармоническим рядом, нужно лишь придумать некую "переодичность" $a_n - отскок от границ итрервала.

[_mv]

Хорхе, да; про гармонический ряд я вспомнил сразу же.
Кстати говоря, в своем канонiческом виде $\sum_{k=1}^n 1/k $ он не подходит ни под одно из условий задачи (ограниченность и что $|a_{n+1}-a_n|<1/n$ )

А вот последовательность $a_n=\sum_{k=1}^n c/k$, где $|c|<1$ подходит под второе.


Вопрос в том, может ли ограниченная последовательность с таким же условием не иметь предела, и как это доказать или опровергнуть.

[Dragon27]

Я думаю, она может сколько угодно, скажем, бегать от одного какого-нибудь числа до другого, достаточно только в нужный момент (когда очередная частичная сумма ряда подберётся достаточно близко к нужному числу) менять знак последующих членов (и она пойдёт обратно к другому числу), ведь остаточный член ряда всегда неограничен. Или просто, когда частичная сумма ряда становится больше второго числа, или меньше первого. Получается такой словесный алгоритм построения последовательности, ничем не хуже других, в принципе :)

добавление:

Integrall в сообщении #567378 писал(а):

В общем ясно, как построить искомую последовательность. В этом деле должна помочь идея с гармоническим рядом, нужно лишь придумать некую "переодичность" $a_n - отскок от границ итрервала.

Сорри, не заметил.

[_mv]

Integrall
Вы имеете в виду, например, $a_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}/k$ ?
Подобные штуки не подходят. Нарушается второе условие. И последовательность имеет предел. А вопрос в том, может ли последовательность, отвечая тем же условиям, не иметь предела? И как это правильно доказать или опровергнуть.

Dragon27
*facepalm*, что-ли

[Integrall]

_mv в сообщении #567411 писал(а):

Integrall
Вы имеете в виду, например, $a_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}/k$ ?
Подобные штуки не подходят. Нарушается второе условие. И последовательность имеет предел. А вопрос в том, может ли последовательность, отвечая тем же условиям, не иметь предела? И как это правильно доказать или опровергнуть.

нет же! Заставте $a_n бродить внутри отрезка. Дойдете до его границы - поворачивайте назад. Скорость движения будет замедляться, но $a_n никогда не остановиться, ведь пройденный путь - сумма гармонического ряда, $a_n будет бродить по отрезку от одной границы к другой вечно.

[_mv]

Integrall
Я кое-что придумал, но доказать, что она соответствует второму условию, проблематично.
А Вы можете привести явный пример такой последовательности?

[TOTAL]

$a_n = \sum_{k=1}^n 1/k$ синус ограничен

[Хорхе]

И производная у синуса маленькая :)

[Integrall]

_mv в сообщении #567555 писал(а):

А Вы можете привести явный пример такой последовательности?

могу. Не забывайте, что кроме этого нужно сделать еще кое-что, а именно показать, что построенная последовательность не фундаментальна. Сделать это будет легко.

[_mv]

TOTAL
Если я Вас правильно понял, Вы предлагаете взять последовательность
$a_n=\sin \sum_{k=1}^n 1/k $
Да, я как раз ее имел в виду раньше, но не могу строго доказать, что для нее $|a_{n+1}-a_n|<1/n$
(как это лучше сделать?)


Integrall

Integrall в сообщении #567416 писал(а):

ведь пройденный путь - сумма гармонического ряда

Цитата:

Могу

Приведите, пожалуйста.

[мат-ламер]

Поскольку последовательность ограничена, то у неё должна быть предельная точка, и, очевидно, единственная, которая и будет пределом.