Базис в пространстве С[0, 1]

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #567120 писал(а):

Вообще, когда пишут $C[0,1]$, то какую стандартную норму подразумевают?

Равномерную. И она, конечно, ни разу не гильбертова.

Профессор Снэйп в сообщении #567120 писал(а):

если вводить норму как на $L^2[0,1]$... Свойства скалярного произведения, конечно же, будут выполняться. А полнота... уже не помню.

Не будет полноты, естественно.

[Integrall]

Профессор Снэйп в сообщении #567116 писал(а):

bot в сообщении #567109 писал(а):

можно взять любую недифференцируемую в нуле, например $|x|$.

У него функции на отрезке $[0,1]$, так что модуль не подойдёт

дык, предлагали ведь использовать модуль со здвигом $f(x) = |x - 1/2|$. С ним решение намного проще. Так слева от $1/2$ функция $f(x)$ имеет представление $1/2 - x$, а справа от $1/2$ -- $x - 1/2$. Что противоречит однозначному разложению по "базису".

[g______d]

Ну так все правильно же пишут. Если функция представима равномерно сходящимся степенным рядом на $[0;1]$, то она допускает аналитическое продолжение в $\{z\in\mathbb C\colon |z|<1\}$. Достаточно вообще сходимости ряда в 1.

[мат-ламер]

А какие базисы Шаудера можно предложить для этого пространства? Сплайны первой степени (кусочно-линейные) гораздо лучше чем многочлены подходят для аппроксимации произвольной непрерывной функции. Следовательно, можно ожидать, что базис из В-сплайнов первой степени будет базисом Шаудера.

[g______d]

Судя по википедии, так и есть

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0% ... 0.B8.D0.B9