Как определяли логарифм и вычислили экспоненту

[Mitrandir]

Как без знания $\exp$ считали логарифмы?
("Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом[31]:
Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.") Wiki
Как определили значение константы? И как сейчас это делают? ( через ряд?)

[arseniiv]

Какой константы, $e$?

Между прочим, ранние логарифмы были не по основанию $e$. Непер использовал вот такую функцию: $x \mapsto \log_{1 - 0{,}1^7} \left( \frac x{10^7} \right)$, согласно http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm.

[Xaositect]

У Непера была вроде бы механическая модель. Точка двигается по отрезку со скоростью, пропорциональной оставшемуся расстоянию. Это $10^7$ вылезало из произвольно выбранного соотношения начальной скоорости и длины.

[arseniiv]

А я думал, ему так удобнее таблицы делать было…

-- Ср май 02, 2012 02:18:37 --

Помнится, кто-то построил свою таблицу натуральных логарифмов так: возвёл $1{,}0\ldots01$ в натуральные степени, а потом привёл показатели в соответствие с показателем результата, ближаёшего к $e$. А вот кто это был — уже не помню.

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #566409 писал(а):

А я думал, ему так удобнее таблицы делать было…

Ну видимо ему было удобнее считать в больших, но целых числах, чем в дробях. 17 век все-таки.

[Munin]

Есть интересная книжка,
Ю. А. Белый. Иоганн КЕПЛЕР, 1571-1630 - Москва: Издательство «Наука», 1971.
Вот что там написано в 11 главе:
http://astro-cabinet.ru/library/Kepler/Kepler_12.htm

А число $e$ носит имя Эйлера, не зря, возможно.

[Ales]

Логарифмы появились раньше экспоненты.
В 17 веке еще не было понятия произвольной степени числа.
Число $e$, кажется, появилось у Эйлера.

Это сейчас экспоненту ставят вперед логарифма.
Исторически правильнее делать наоборот.
Вводить логарифм (можно через площадь под гиперболой), а экспонента будет обратной функцией.

Логарифмы, синусы и экспоненты считаются через степенные ряды.
Поэтому возможно, что логарифмические таблицы появились только в 18 веке.
Если это было так, то история про Непера - выдумка,
а документы и исторические свидетельства фальшивые.

[venco]

Ales в сообщении #566424 писал(а):

Если это было так, то история про Непера - выдумка,
а документы и исторические свидетельства фальшивые.

Не так. Непер и Эйлер - один человек, просто при переписывании в фамилию вкралась ошибка.

[Ales]

Сама идея, что какой-то шотландский барон 10 миллионов раз умножал на 1.0000001,
чтобы опубликовать никому не нужные в начале 17 века таблицы в высшей степени нелепа.

Кстати, сколько на это требуется времени, бумаги и чернил?

-- Ср май 02, 2012 00:01:25 --

10 млн минут делим на 60 на 24 на 365 = 19 лет.

[arseniiv]

Ales в сообщении #566437 писал(а):

никому не нужные в начале 17 века таблицы

Ну да, ну да.

[Munin]

Скачал и глянул книжку (всего 32 страницы)
Гиршвальд Л.Я. История открытия логарифмов. 1952.
В общем, Кеплер упомянут вскользь, но остальное рассказано хорошо: и Бюрги, и Непер, и Бригг, и Сен-Винсен.

Первоначально логарифмы, может быть, казались мало нужными (например, Стевин подразумевал их применение только для экономических расчётов), но стоило им появиться, они быстро завоевали популярность - нашлись люди, остро в них нуждающиеся, и приложили немало усилий к их распространению и совершенствованию. Непер и сам был математиком и астрономом, и удобство расчётов для него не было пустым звуком.

[Евгений Машеров]

Понятие логарифма возникало из сопоставления геометрической и арифметической прогрессий. Вторая представляла, с точностью до множителя и константы, логарифм первой. А такие задачи возникали, в частности, в экономике. А именно сложные проценты это геометрическая прогрессия, а равномерные выплаты - арифметическая, и как раз в это время появились сложные финансовые инструменты, страховые схемы, расчёты рентабельности долговременных предприятий и т.п.
Потребность в астрономических (астрологических, прямо скажем) вычислениях появилась ранее, а вот, с одной стороны, ослабление религиозных запретов на предсказания ("Ворожею не оставляй в живых!"), с другой стороны, войны, революции и прочие проявления непредсказуемости, повысили "плотность заказов" и потребовали считать быстро, так что созданы были таблицы логарифмов тригонометрических функций.

[Mitrandir]

Всем большое спасибо. Сам не подумал книги поискать. Обязательно прочитаю.

[Евгений Машеров]

Неперовское основание логарифма было 2,7182816925449662711985502257778
что с практической точки зрения равно e. Ошибка в восьмом знаке не важна ни для астрономов, ни для финансистов.

[g______d]

Зачем им было тогда столько знаков? Это же превышение точности жуткое.