Базис в пространстве С[0, 1]

[cyber222]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться. Дана система функций {1, х, х^2, x^3, ..., x^n,...} в С[0, 1]. Она будет полной по теореме Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывных функций многочленами. Но она не будет базисом в этом пр-ве. Как это доказать?

[bot]

Дык мощи мощности не хватит.

[Хорхе]

Мощности как раз очень даже хватит.

Другое дело, что если два многочлена совпадают в очень многих точках (скажем, на подынтервале), то они совпадают всюду. Чего не скажешь об остальных функциях. Поэтому, например, $f(x) =|x-1/2|$ многочленом не является.

[bot]

Не хватит - базис счётен, скаляров континуум, итого линейная оболочка континуальна, а непрерывных функций больше.
Ну и, в конце концов или наоборот сначала, линейная оболочка системы многочленов не выходит за рамки многочленов.

[RIP]

Подозреваю, что под базисом имеется в виду базис Шаудера.

[bot]

(Оффтоп)

Тоже после Хорхе так подумал, но во-первых не знал как такое называется, когда допускаются бесконечные суммы, а во-вторых когда говорят о базисе пространства и не уточняют, то естественно подразумевать обычный смысл. Но и в этом смысле ответ тот же - сколько угодно неразложимых в ряд Тейлора непрерывных функций есть.

[apriv]

bot в сообщении #566988 писал(а):

Не хватит - базис счётен, скаляров континуум, итого линейная оболочка континуальна, а непрерывных функций больше.

Вы, наверное, удивитесь, но непрерывных функций из отрезка в $\mathbb R$ как раз континуум.

[мат-ламер]

Вспоминается мне, что ewert как-то доказывал, что по этому базису можно разложить не любую непрерывную функцию, а только аналитическую. Связано это с тем, что коэффициенты разложения должны убывать с определённой скоростью.

[cyber222]

Под базисом действительно подразумевается базис Шаудера.
Можно рассмотреть функцию
$f(0) = 0$ и $f = e^{\frac{-1}{x^2}}$ при $x\neq0$ . Она не совпадает в окрестности нуля со своим рядом Маклорена(т.к. все коэффициенты ряда - нули), следовательно - система степеней не базис. Теперь надо обосновать, почему мы взяли именно ряд Маклорена. Если доказать, что, если произвольной степенной ряд равномерно сходится к функции, то он необходимо будет ее рядом Тейлора, то задача решена. Как это сделать?

[RIP]

Вы излишне драматиусложняете. Достаточно заметить, например, что сумма степенного ряда дифференцируема внутри интервала сходимости.

-- Пт 04.05.2012 02:50:27 --

А ряд Маклорена надо брать потому, что степенной ряд с положительным радиусом сходимости является рядом Тейлора для своей суммы. Одно из основных свойств степенных рядов. Есть в любом порядочном учебнике по математическому анализу.

[Integrall]

cyber222 в сообщении #567084 писал(а):

Под базисом действительно подразумевается базис Шаудера.
Можно рассмотреть функцию
$f(0) = 0$ и $f = e^{\frac{-1}{x^2}}$ при $x\neq0$ . Она не совпадает в окрестности нуля со своим рядом Маклорена(т.к. все коэффициенты ряда - нули), следовательно - система степеней не базис. Теперь надо обосновать, почему мы взяли именно ряд Маклорена. Если доказать, что, если произвольной степенной ряд равномерно сходится к функции, то он необходимо будет ее рядом Тейлора, то задача решена. Как это сделать?

предлагаю доказывать от противного. Пусть система степенных функций базас в $СC[0,1]$. Выделим из пространства $СC[0,1]$ множество бесконечно дифференцируемых функций. Для них формально можно построить ряд Маклорена. В силу единственности разложения по базису, ряд Маклорена совпадает с разложением по системе степенных функций (соотв. коефф. равны). Ну а дальше ваш контрпример показывает противоречивость предположения. Точка.

[bot]

apriv в сообщении #567001 писал(а):

Вы, наверное, удивитесь, но непрерывных функций из отрезка в $\mathbb R$ как раз континуум

А и в самом деле - это ведь не $\mathbb Q^{\mathbb R}$, а наоборот $\mathbb R^{\mathbb Q}$.
Ну тогда берём просто любую непрерывную, но не разложимую в ряд Маклорена, не надо хрестоматийную $e^{-\frac{1}{x^2}}$, можно взять любую недифференцируемую в нуле, например $|x|$.

[Профессор Снэйп]

bot в сообщении #567109 писал(а):

можно взять любую недифференцируемую в нуле, например $|x|$.

У него функции на отрезке $[0,1]$, так что модуль не подойдёт

-- Пт май 04, 2012 08:39:39 --

RIP в сообщении #566994 писал(а):

Подозреваю, что под базисом имеется в виду базис Шаудера.

У нас это дело почему-то называлось "гильбертов базис"

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #567116 писал(а):

У нас это дело почему-то называлось "гильбертов базис"

Вряд ли. Какой смысл обзывать что-то гильбертовым во всего лишь банаховом пространстве?...

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #567119 писал(а):

Вряд ли. Какой смысл обзывать что-то гильбертовым во всего лишь банаховом пространстве?...

Так $C[0,1]$ не просто банахово, а гильбертово!

-- Пт май 04, 2012 09:32:01 --

Хотя, если честно, забыл уже функан. Написал и засомневался...

На $C[0,1]$, конечно же, можно по разному вводить норму. Если нормой считать максимум модуля функции, то вроде никакой гильбертовости не будет. А если вводить норму как на $L^2[0,1]$... Свойства скалярного произведения, конечно же, будут выполняться. А полнота... уже не помню.

Вообще, когда пишут $C[0,1]$, то какую стандартную норму подразумевают?