2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неизоморфность $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$
Сообщение28.04.2012, 01:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5829
Верно ли, что $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$ не изоморфны? Очевидно, что верно, если рассматривать их как топологические группы. Существует ли чисто алгебраическое доказательство отсутствия изоморфизма?

Используя лемму Цорна, можно показать, что $\mathbb R^n$ и $\mathbb R^m$ изоморфны как группы по сложению. Так что интуиция мне ничего не говорит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизоморфность $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$
Сообщение28.04.2012, 10:32 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
g______d в сообщении #564760 писал(а):
Используя лемму Цорна, можно показать, что $\mathbb R^n$ и $\mathbb R^m$ изоморфны как группы по сложению.

Как абелевы группы да, а как векторные пространства - нет при $n \neq m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизоморфность $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$
Сообщение28.04.2012, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5829
Как векторные пространства над $\mathbb Q$ --- изоморфны :). Исходный вопрос просто про группы без дополнительной структуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизоморфность $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$
Сообщение29.04.2012, 23:49 
Заслуженный участник


08/01/12
915
g______d в сообщении #564760 писал(а):
Верно ли, что $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$ не изоморфны?

Верно. Более того, если группа $GL(n,K)$ изоморфна $GL(m,L)$ для полей $K$, $L$, и $m,n\geq 3$, то $m=n$ и $K$ изоморфно $L$. См., например, J. Dieudonné “On the automorphisms of the classical groups” и Стейнберг «Лекции о группах Шевалле».

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизоморфность $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$
Сообщение03.05.2012, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5829
Спасибо! Попробую разобраться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group