Неизоморфность $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$

[g______d]

Верно ли, что $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$ не изоморфны? Очевидно, что верно, если рассматривать их как топологические группы. Существует ли чисто алгебраическое доказательство отсутствия изоморфизма?

Используя лемму Цорна, можно показать, что $\mathbb R^n$ и $\mathbb R^m$ изоморфны как группы по сложению. Так что интуиция мне ничего не говорит.

[AV_77]

g______d в сообщении #564760 писал(а):

Используя лемму Цорна, можно показать, что $\mathbb R^n$ и $\mathbb R^m$ изоморфны как группы по сложению.

Как абелевы группы да, а как векторные пространства - нет при $n \neq m$.

[g______d]

Как векторные пространства над $\mathbb Q$ --- изоморфны :). Исходный вопрос просто про группы без дополнительной структуры.

[apriv]

g______d в сообщении #564760 писал(а):

Верно ли, что $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$ не изоморфны?

Верно. Более того, если группа $GL(n,K)$ изоморфна $GL(m,L)$ для полей $K$, $L$, и $m,n\geq 3$, то $m=n$ и $K$ изоморфно $L$. См., например, J. Dieudonné “On the automorphisms of the classical groups” и Стейнберг «Лекции о группах Шевалле».

[g______d]

Спасибо! Попробую разобраться.