2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неизоморфность $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$
Сообщение28.04.2012, 01:03 
Аватара пользователя
Верно ли, что $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$ не изоморфны? Очевидно, что верно, если рассматривать их как топологические группы. Существует ли чисто алгебраическое доказательство отсутствия изоморфизма?

Используя лемму Цорна, можно показать, что $\mathbb R^n$ и $\mathbb R^m$ изоморфны как группы по сложению. Так что интуиция мне ничего не говорит.

 
 
 
 Re: Неизоморфность $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$
Сообщение28.04.2012, 10:32 
g______d в сообщении #564760 писал(а):
Используя лемму Цорна, можно показать, что $\mathbb R^n$ и $\mathbb R^m$ изоморфны как группы по сложению.

Как абелевы группы да, а как векторные пространства - нет при $n \neq m$.

 
 
 
 Re: Неизоморфность $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$
Сообщение28.04.2012, 11:44 
Аватара пользователя
Как векторные пространства над $\mathbb Q$ --- изоморфны :). Исходный вопрос просто про группы без дополнительной структуры.

 
 
 
 Re: Неизоморфность $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$
Сообщение29.04.2012, 23:49 
g______d в сообщении #564760 писал(а):
Верно ли, что $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$ не изоморфны?

Верно. Более того, если группа $GL(n,K)$ изоморфна $GL(m,L)$ для полей $K$, $L$, и $m,n\geq 3$, то $m=n$ и $K$ изоморфно $L$. См., например, J. Dieudonné “On the automorphisms of the classical groups” и Стейнберг «Лекции о группах Шевалле».

 
 
 
 Re: Неизоморфность $GL(3,\mathbb R)$ и $GL(4,\mathbb R)$
Сообщение03.05.2012, 14:40 
Аватара пользователя
Спасибо! Попробую разобраться.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group