Ряд коэффициентов Фурье.

[CptPwnage]

Известно что для функции $f$ сходится ряд
$\sum\limits_{n=0}^{\infty} |c_n|$, где $c_n$ её коэффициенты Фурье ( отрезок $[0,2\pi]$). В каком функциональном пространстве лежит $f$?
Пока могу только сказать что $f$ лежит в пространстве функций с гельдеровым показателем $\alpha > \frac 1 2$. А еще что-то можно сказать? Были бы $n^k c_n$ решил бы,а так не знаю..

[ewert]

CptPwnage в сообщении #565997 писал(а):

Известно что для функции $f$ сходится ряд
$\sum\limits_{n=0}^{\infty} |c_n|$, где $c_n$ её коэффициенты Фурье ( отрезок $[0,2\pi]$). В каком функциональном пространстве лежит $f$?

Неизвестно абсолютно. Ведь не сказано же категорически, в каком смысле тот ряд сходится.

[CptPwnage]

Нет нет, $c_n$ это просто коэффициенты, без синусов и косинусов, ряд числовой.

[Padawan]

CptPwnage в сообщении #565997 писал(а):

Пока могу только сказать что $f$ лежит в пространстве функций с гельдеровым показателем $\alpha > \frac 1 2$.

А как это доказать?

[CptPwnage]

Без понятия, на википедии написано "Теорема Бернштейна".

[Vince Diesel]

CptPwnage в сообщении #565997 писал(а):

Пока могу только сказать что $f$ лежит в пространстве функций с гельдеровым показателем $\alpha > \frac 1 2$.

На википедии написано совсем наооборот. Если из пространства Гельдера, то...
А так вопрос поставлен не особо конкретно. Есть целые шкалы пространств с несколькими параметрами (Соболева, Бесова...) для детального описания свойств гладкости и суммируемости функций и их производных. Вот для конкретной шкалы вопрос при каких заначениях параметров есть вложение, был бы более предметным.

[CptPwnage]

Ну это достаточное условие тогда, по условию можно найти необходимое пространство и достаточное.
Вообще тема пространства Соболева с параметром $s$. Но там ряды только с коэффециентами в какой-то степени..

[g______d]

Насколько я понимаю, в классических пространствах ничего лучше, чем $C[0;2\pi]$, сказать нельзя. Мне кажется, я видел работы, в которых это условие на функцию в таком виде и оставлялось.

-- 01.05.2012, 01:08 --

Разумеется, это некоторый подкласс, не совпадающий со всем $C[0;2\pi]$, но вроде бы у него нет более простого описания.

[g______d]

Про этот класс что-то написано в книжке Grafakos, Classical Fourier Analysis, раздел 3.2.3, но не особо много (определение, достаточное условие принадлежности и несколько упражнений)

-- 01.05.2012, 03:39 --

Пространство называется $A(\mathbb T)$.

[Oleg Zubelevich]

затер

[Vince Diesel]

CptPwnage в сообщении #566048 писал(а):

Вообще тема пространства Соболева с параметром $s$. Но там ряды только с коэффециентами в какой-то степени..

Соболева второго порядка? Ну так надо записать условие на принадлежность функции к такому пространству. Это будет ряд из модулей коэффициентов, умноженных на некоторую степень $n$. Теперь записать ряд просто из модулей коэффициентов, умножить и поделить на степень $1/n^s$ и применить подходящее неравенство, чтобы одним из сомножителей в правой части оказалась норма. Вторым множителем будет ряд со солагаемыми вида $1/n^r$. Вот для каких $r$ этот ряд будет сходиться, для таких...

[g______d]

Видимо, условие на пространство Соболева будет совпадать с условием вложимости в $C[0;2\pi]$.

[Oleg Zubelevich]

разумеется, только правильнее говорить не о $C[0,2\pi]$ а о $C(\mathbb{T})$.

[g______d]

Согласен. Если пространство Соболева изначально было на $\mathbb T$, то из его вложения в $C[0,2\pi]$ следует вложимость в $C(\mathbb T)$. Но если говорить так, как я, то легко запутаться.

[Oleg Zubelevich]

Однако, увы! Я сперва подумал, что $A(\mathbb T)$ совпадает с индуктивным пределом пространств $H^s(\mathbb{T}),\quad s>1/2$, но нет, индуктивный предел вложен в это пространство но не совпадает с ним. По-видимому это, в каком-то смысле, наименьшее банахово пространство содержащее данный индуктивный предел.