2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение30.04.2012, 21:15 
Известно что для функции $f$ сходится ряд
$\sum\limits_{n=0}^{\infty} |c_n|$, где $c_n$ её коэффициенты Фурье ( отрезок $[0,2\pi]$). В каком функциональном пространстве лежит $f$?
Пока могу только сказать что $f$ лежит в пространстве функций с гельдеровым показателем $\alpha > \frac 1 2$. А еще что-то можно сказать? Были бы $n^k c_n$ решил бы,а так не знаю..

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение30.04.2012, 21:36 
CptPwnage в сообщении #565997 писал(а):
Известно что для функции $f$ сходится ряд
$\sum\limits_{n=0}^{\infty} |c_n|$, где $c_n$ её коэффициенты Фурье ( отрезок $[0,2\pi]$). В каком функциональном пространстве лежит $f$?

Неизвестно абсолютно. Ведь не сказано же категорически, в каком смысле тот ряд сходится.

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение30.04.2012, 21:50 
Нет нет, $c_n$ это просто коэффициенты, без синусов и косинусов, ряд числовой.

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение30.04.2012, 22:17 
CptPwnage в сообщении #565997 писал(а):
Пока могу только сказать что $f$ лежит в пространстве функций с гельдеровым показателем $\alpha > \frac 1 2$.

А как это доказать?

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение30.04.2012, 22:23 
Без понятия, на википедии написано "Теорема Бернштейна".

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение30.04.2012, 23:09 
CptPwnage в сообщении #565997 писал(а):

Пока могу только сказать что $f$ лежит в пространстве функций с гельдеровым показателем $\alpha > \frac 1 2$.

На википедии написано совсем наооборот. Если из пространства Гельдера, то...
А так вопрос поставлен не особо конкретно. Есть целые шкалы пространств с несколькими параметрами (Соболева, Бесова...) для детального описания свойств гладкости и суммируемости функций и их производных. Вот для конкретной шкалы вопрос при каких заначениях параметров есть вложение, был бы более предметным.

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение30.04.2012, 23:14 
Ну это достаточное условие тогда, по условию можно найти необходимое пространство и достаточное.
Вообще тема пространства Соболева с параметром $s$. Но там ряды только с коэффециентами в какой-то степени..

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение01.05.2012, 00:07 
Аватара пользователя
Насколько я понимаю, в классических пространствах ничего лучше, чем $C[0;2\pi]$, сказать нельзя. Мне кажется, я видел работы, в которых это условие на функцию в таком виде и оставлялось.

-- 01.05.2012, 01:08 --

Разумеется, это некоторый подкласс, не совпадающий со всем $C[0;2\pi]$, но вроде бы у него нет более простого описания.

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение01.05.2012, 02:38 
Аватара пользователя
Про этот класс что-то написано в книжке Grafakos, Classical Fourier Analysis, раздел 3.2.3, но не особо много (определение, достаточное условие принадлежности и несколько упражнений)

-- 01.05.2012, 03:39 --

Пространство называется $A(\mathbb T)$.

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение01.05.2012, 10:57 
затер

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение01.05.2012, 11:01 
CptPwnage в сообщении #566048 писал(а):
Вообще тема пространства Соболева с параметром $s$. Но там ряды только с коэффециентами в какой-то степени..

Соболева второго порядка? Ну так надо записать условие на принадлежность функции к такому пространству. Это будет ряд из модулей коэффициентов, умноженных на некоторую степень $n$. Теперь записать ряд просто из модулей коэффициентов, умножить и поделить на степень $1/n^s$ и применить подходящее неравенство, чтобы одним из сомножителей в правой части оказалась норма. Вторым множителем будет ряд со солагаемыми вида $1/n^r$. Вот для каких $r$ этот ряд будет сходиться, для таких...

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение01.05.2012, 13:23 
Аватара пользователя
Видимо, условие на пространство Соболева будет совпадать с условием вложимости в $C[0;2\pi]$.

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение01.05.2012, 14:46 
разумеется, только правильнее говорить не о $C[0,2\pi]$ а о $C(\mathbb{T})$.

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение01.05.2012, 15:10 
Аватара пользователя
Согласен. Если пространство Соболева изначально было на $\mathbb T$, то из его вложения в $C[0,2\pi]$ следует вложимость в $C(\mathbb T)$. Но если говорить так, как я, то легко запутаться.

 
 
 
 Re: Ряд коэффициентов Фурье.
Сообщение01.05.2012, 15:17 
Однако, увы! Я сперва подумал, что $A(\mathbb T)$ совпадает с индуктивным пределом пространств $H^s(\mathbb{T}),\quad s>1/2$, но нет, индуктивный предел вложен в это пространство но не совпадает с ним. По-видимому это, в каком-то смысле, наименьшее банахово пространство содержащее данный индуктивный предел.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group