Дифференциальные формы, криволинейные координаты

[lena7]

Учу диф. формы по 2-му тому Зорича. Есть непонятки.



1. Почему базисные векторы в $T\mathbb R^3_t$ и $T\mathbb R^3_x$ обозначаются одинаково: $\xi_i$?

2. Как получилось, что $\xi_i(x)=\dfrac{\partial \varphi(t)}{\partial t^i}$? Зорич не объяснил, а я сама не поняла: что вообще такое $\dfrac{\partial \varphi(t)}{\partial t^i}$?

[lena7]

Пусть диффеоморфизм $\varphi:(x,y)\mapsto (r,\varphi)$ -- переход к полярным координатам. Векторы $\partial_x$, $\partial_y$ (производные по $x,y$) являются базисом в касательном пространстве любой точки из области определения. Верно ли, что при изоморфизме $d\varphi$ им будут соответствовать производные $\partial_r$, $\partial_\varphi$?

[Xaositect]

Цитата:

1. Почему базисные векторы в $T\mathbb R^3_t$ и $T\mathbb R^3_x$ обозначаются одинаково: $\xi_i$?

Неудачное обозначение.

Цитата:

2. Как получилось, что $\xi_i(x)=\dfrac{\partial \varphi(t)}{\partial t^i}$? Зорич не объяснил, а я сама не поняла: что вообще такое $\dfrac{\partial \varphi(t)}{\partial t^i}$?

Ну как же. $\varphi$ --- векторная функция. Можно брать частные производные по разным аргументам и получать какие-то векторы. Они будут касательными к координатным линиям, например, $\frac{\partial\varphi}{\partial t^{1}}$ в точке $(c^1,c^2,c^3)$ будет касательным к линии $\varphi(t^1, c^2, c^3)$.

lena7 в сообщении #565845 писал(а):

Пусть диффеоморфизм $\varphi:(x,y)\mapsto (r,\varphi)$ -- переход к полярным координатам. Векторы $\partial_x$, $\partial_y$ (производные по $x,y$) являются базисом в касательном пространстве любой точки из области определения. Верно ли, что при изоморфизме $d\varphi$ им будут соответствовать производные $\partial_r$, $\partial_\varphi$?

Тут какая-то путаница. Производные по координатам являются элементами не касательного, а кокасательного пространства.

[lena7]

Xaositect в сообщении #566879 писал(а):

Производные по координатам являются элементами не касательного, а кокасательного пространства.

Это ставит под вопрос всю мою концепцию реальности... Я точно где-то читала, что касательные векторы отождествляются с производными по направлению (типа $\partial_x$), а элементы из кокасательного пространства -- уже дифференциалы, 1-формы (типа $dx$).

[Xaositect]

Упс, прошу прощения. Все действительно так, как Вы говорите, это меня глючит.

-- Чт май 03, 2012 18:12:16 --

Если рассмотреть переход к полярным координатам, то есть диффеоморфизм области параметров $(r,\varphi)$ в область плоскости $(x,y)$, то векторам $\frac{\partial}{\partial r}$ и $\frac{\partial}{\partial \varphi}$ в касательном пространстве в исходной точке соответствуют векторы в касательном пространстве в точке плоскости, которые обобзначаются так же и выражаются через базис $\frac{\partial}{\partial x}$ и $\frac{\partial}{\partial y}$ с помощью якобиана.

[olenellus]

(Оффтоп)

Что-то много развелось нынче девушек, изучающих дифференциальную геометрию.