Тепловая задача

[AndreyL]

GraNiNi в сообщении #564634 писал(а):

Эта задача близка к задачам о расчете времени охлаждения и затвердевания отливок.

К сожалению, нет. В металлургических отливках форма не плавится

[AndreyL]

Хорошо! Для начала попробуем составить неявную конечно-разностеую схему для случая, когда плавящаяся окружающая среда не участвует в конвекции. Тогда, по идее, условие на границе конвектирующей области должно быть $c H \rho \frac{\partial T}{\partial t}=\lambda \frac{\partial T}{\partial x}\left| _{x=xb}-\lambda \frac{\partial T}{\partial x}\right| _{x=xu}$, в правой части уравнения теплопотоки с верхней и нижней границ, в левой $H$-толщина конвектирующего слоя. Как теперь построить сквозную численную схему? Если бы теплопоток был бы только один, то вроде бы не сложно, а вот как учесть влияние сразу двух тепловых потоков на охлаждение слоя конвектирующего расплава?

[Alexandr007]

AndreyL в сообщении #564939 писал(а):

Тогда, по идее, условие на границе конвектирующей области должно быть $c H \rho \frac{\partial T}{\partial t}=\lambda \frac{\partial T}{\partial x}\left| _{x=xb}-\lambda \frac{\partial T}{\partial x}\right| _{x=xu}$

Почему Вы не хотите рассчитывать Q(x)? Добавив к нему T(Q) можно получить модель с плавлением.
Для границы расплава: $\frac{\partial Q}{\partial t}=k(T-T_{pl})-\lambda \frac{\partial T}{\partial x}$
для моделирования конвекции(т.е. только для расплава) ввести правило - если $Q(x_i)>Q(x_{i+1})$, то $Q(x_i)=Q(x_{i+1})=0,5*(Q(x_i)+Q(x_{i+1}))$

[AndreyL]

Так, не совсем понял, что такое Q(x)? Судя по виду, это $Q(x)=H c \rho T_l$, и тогда $\frac{\partial Q}{\partial t}=c \rho \left( H \frac{\partial T_l}{\partial t}+T_l \frac{\partial H}{\partial t}\right)$, где $H$ - толщина слоя конвектирующего расплава, $T_l$ - его температура, постоянная для всего слоя. Или я не прав? Вот только остается вопрос - где брать коэффициент теплоотдачи в уравнении Ньютона — Рихмана. Для отливок это теплопередача на границе отливки с формой, а тут смысл этого коэффициента не совсем ясен.

[Alexandr007]

AndreyL в сообщении #565031 писал(а):

Так, не совсем понял, что такое Q(x)?

Количество тепла в единице объема. Если использовать только температуру, то описать плавление сложно, тепло подводится, а температура не меняется, впрочем можно ввести эффективную теплоемкость, считая что температура в начале плавления и в конце плавления различаются.

[AndreyL]

Я обхожусь эффективной теплоемкостью $c_{eff}=c_0-q\frac{d F}{d T}$, где $q$ - теплота плавления, $F$ - степень закристаллизованности, аппроксимируя $F(T)$ прямой получается просто слагаемое в области между ликвидусом и солидусом.

[Alexandr007]

AndreyL
Вроде должно работать. Тогда остается коэффициент теплопередачи на границе расплава. Я думаю, его можно получить следующим образом. Вблизи границы расплава должен быть тонкий слой, который остается неподвижным и не участвует в конвекции, его теплопроводность и будет ограничивать теплопередачу на границе расплава. Остается из каких-то соображений определить толщину этого слоя. Может быть посчитать при нескольких значениях и выбрать то, что покажется правдоподобным.

[Батороев]

Alexandr007 в сообщении #564155 писал(а):

Жидкость мгновенно расплавит лед, охладившись до температуры плавления.

Жидкость охладится - это бесспорно, но то, что количества ее тепла хватит для того, чтобы расплавить лед - еще не факт. Необходимо учитывать то, что на сам процесс расплавления необходимо затратить определенное количество дополнительной энергии (и довольно-таки не малое, для воды к примеру уд. теплота плавления 340 кДж/кг).

[AndreyL]

Батороев в сообщении #565113 писал(а):

Alexandr007 в сообщении #564155 писал(а):

Жидкость мгновенно расплавит лед, охладившись до температуры плавления.

Жидкость охладится - это бесспорно, но то, что количества ее тепла хватит для того, чтобы расплавить лед - еще не факт. Необходимо учитывать то, что на сам процесс расплавления необходимо затратить определенное количество дополнительной энергии (и довольно-таки не малое, для воды к примеру уд. теплота плавления 340 кДж/кг).

Если жидкость перегрета, то чего-то она расплавит. Собственно, основная задача выяснить, сколько можно расплавить.

[Батороев]

AndreyL в сообщении #565767 писал(а):

Если жидкость перегрета, то чего-то она расплавит.

А может и не расплавит ничего, а ее тепло просто пойдет на нагрев большего объема нагреваемого вещества, как например, происходит в медных водоохлаждаемых кристаллизаторах в печах электрошлакового переплава в металлургии (сравните температуру плавления стали и меди).

[AndreyL]

Alexandr007 в сообщении #565084 писал(а):

AndreyL
Вроде должно работать. Тогда остается коэффициент теплопередачи на границе расплава. Я думаю, его можно получить следующим образом. Вблизи границы расплава должен быть тонкий слой, который остается неподвижным и не участвует в конвекции, его теплопроводность и будет ограничивать теплопередачу на границе расплава. Остается из каких-то соображений определить толщину этого слоя. Может быть посчитать при нескольких значениях и выбрать то, что покажется правдоподобным.

Есть подозрение, что именно от толщины этого слоя и будет зависеть все решение. Сложность заключается в выборе правдоподобного.

[AndreyL]

Еще вопросик. Правильно ли я понимаю, что в этой задачке интеграл $\int c T(t,x) \, dx$ может только уменьшаться со временем? И уменьшаться он начнет тогда, когда на границах расчетной области появится ненулевой градиент температуры, а до этого вообще должен быть постоянным.

[AndreyL]

AndreyL в сообщении #565913 писал(а):

Еще вопросик. Правильно ли я понимаю, что в этой задачке интеграл $\int c T(t,x) \, dx$ может только уменьшаться со временем? И уменьшаться он начнет тогда, когда на границах расчетной области появится ненулевой градиент температуры, а до этого вообще должен быть постоянным.

Извиняюсь, похоже не правильно. Если теплоемкость зависит от температуры, то общее теплосодержание системы будет $\int \left [ \int _{T_0}^{T(t,x)}c(T) dT \right ] dx$, где $T_0$ - любая температура, меньше чем в системе, например 0.

[Alexandr007]

AndreyL в сообщении #565805 писал(а):

Сложность заключается в выборе правдоподобного.

Для одномерной модели толщина неподвижного слоя должна быть задана. Ее можно было бы получить из трехмерной модели конвекции.
Посмотрите http://www.magnetosphere.ru/~avg/publications/ufn.pdf, может что полезное найдете.

[GraNiNi]

По грубым прикидкам, (без учета теплоты плавления и кристаллизации) при начальной температуре расплава равной 2000К и принятой температуре плавления в 1400К, получается, что граница расплава будет расширяться в обе стороны (вверх и вниз) и проплавив примерно 100-200 м породы, на что уйдет около 1000-2000 лет, расплав закристаллизуется, и дальше вся масса будет остывать еще более 3 млн. лет.