SUPER ZADACHA

[Батороев]

bot писал(а):

2Батороев. Не понял, если Вы этим хотите сказать, что признаком делимости на n-1 в СС с основанием n будет делимость на n-1 суммы цифр этого числа, то не удивили.

Нисколько не сомневаюсь, что этот факт - известный.
Я, больше, про возможность записи разрядов чисел в различных СС с использованием десятичных чисел.

Ведь, в быту, разделяя числа по три разряда, фактически производят следующее:
100768778899 = (100 768 778 899)_1000.

А может БТФ удобней доказать в b-чной СС:
$ c^n - a^n = 100..000 $ , узнав, что n нулей при $ (c - a) < b $
получить нельзя

[незваный гость]

Trius писал(а):

незваный гость писал(а):

Имеем $9 | a + \beta + \gamma$.

откуда? почему из $9 | 3(a+ \beta+\gamma)$ cледует что $9 | (a+ \beta+\gamma)$

$ 27 | a + 10 b + 100 c \Rightarrow $ $27 | 3 (37 a + 10 \beta + 100 \gamma) \Rightarrow $ $9 | 37 a + 10 \beta + 100 \gamma \Rightarrow $ $9 | a + \beta + \gamma$.

[Trius]

Точно Но если $a+\beta+\gamma=9$ то a+b+c=27,а для трехзначных чисел это исполняется только тогда, когда a=b=c=9

[незваный гость]

Да. Я пришел к этому же выводу более сложным путем.

[Trius]

[bot]

Батороев писал(а):

В первом сообщении я к Вашему сравнению приплюсовал второе и эти два сравнения (вместе с числом 999) и являются ответом на задачу

Кроксворд, однако. Признаться честно, так до сих пор и не понял, что к чему Вы добавляете или приплюсовываете, однако новый поворот в исходной задаче из-за Вашего вмешательства получается:

Сколько трёхзначных чисел делятся на 27 и сохраняют эту делимость
а) при некоторой перестановке своих цифр
б) при некоторой перестановке двух своих цифр

В обоих случаях можно требовать/не требовать, чтобы перестановка была фиксированной, а также требовать/не требовать от перестановки, чтобы она сохраняла трёхзначность.

[Батороев]

Для решения задачи необходимо, чтобы выполнялись два сравнения:
$ a \equiv b \equiv c \equiv 0 (mod \ 3) $ и
$ (a + b + c) \equiv 0 (mod \ 27) $

Из трехзначных чисел этим двум сравнениям удовлетворяет только число 999 (в этом, видимо, и "изюминка" задачи).
Эти два сравнения являются, как мне кажется, необходимым и достаточным условием и для 4-, 5- и т.д. -значных чисел.

[bot]

Батороев писал(а):

Для решения задачи необходимо ...

О какой задаче речь? Видимо об исходной, так как для вышенаписанного случая (б) первые сравнения не всегда имеют место быть.
В исходной задаче, собственно нужно было доказать, что a+b+c=27, так что, как я уже говорил, если получить второе Ваше сравнение, то и всё.
В своём выводе Вы используете первые Ваши сравнения, а откуда Вы их получили, я не знаю. Однако они и не нужны - достаточно иметь более слабые сравнения $a\equiv b \equiv c (mod 3)$.
На самом деле и это можно ослабить и возникает новый поворот в задаче - я думал, что после всего, что уже было, он всем очевиден.

[Батороев]

Вы совершенно правы.
Есть у меня небольшой "пунктик" - оставлять то, что "на ум пошло", недосказанным. Извиняюсь.

С уважением,
Батороев

[Батороев]

bot писал(а):

2Батороев. Не понял, если Вы этим хотите сказать, что признаком делимости на n-1 в СС с основанием n будет делимость на n-1 суммы цифр этого числа, то не удивили.

А признаком делимости на n+1 в СС с основанием n, например, числа
$ A = ... a_3 a_2 a_1 a_0 $
будет условие
$ (a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ... )\equiv 0 (mod n)

[[ws]woland]

вы еще побейтесь из-за разности способов решения!!!

[bot]

Да никто биться и не собирается. Суть в том, что для решения исходной задачи, а также сформулированной выше достаточны более слабые аргументы.