Прямые и области, а также карты и колоды.

[Катрина]

Помогите пожалуйста решить 2 задачи по комбинаторике:
1. На плоскости проведены n прямых так, что никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. На сколько областей делят плоскость эти прямые?
2. Имеется колода из 4n (n >= 5) карт, которая содержит карты 4 мастей по n карт каждой масти, занумерованных числами 1,2,...,n. Подсчитайте, сколькими способами можно выбрать пять карт так, чтобы среди них оказались три карты из пяти с одинаковыми номерами?

[Yntz]

Катрина писал(а):

Помогите пожалуйста решить 2 задачи по комбинаторике:
1. На плоскости проведены n прямых так, что никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. На сколько областей делят плоскость эти прямые?
2. Имеется колода из 4n (n >= 5) карт, которая содержит карты 4 мастей по n карт каждой масти, занумерованных числами 1,2,...,n. Подсчитайте, сколькими способами можно выбрать пять карт так, чтобы среди них оказались три карты из пяти с одинаковыми номерами?

1. Каждая n-ная дополнительная прямая пересекает n-1 предыдущих, следовательно делит (n-1)+1=n областей между (и за) точками пересечения. При отсутствии прямых есть 1 область. Следовательно, число областей = 1 + (sum(i=1,n,i))=n^2/2+n/2+1

2. Мощность множества событий C из 4n по 5, мощность благоприятных событий n(4n-4)(С из 4 по 3)

[neo66]

Катрина писал(а):

2. Имеется колода из 4n (n >= 5) карт, которая содержит карты 4 мастей по n карт каждой масти, занумерованных числами 1,2,...,n. Подсчитайте, сколькими способами можно выбрать пять карт так, чтобы среди них оказались три карты из пяти с одинаковыми номерами?

Число выборок, состоящих из 5 карт, содержащих ровно 3 карты с одинаковыми номерами равно:
$C_4^3*n*C_{4n-4}^2$
Число выборок, состоящих из 5 карт, содержащих ровно 4 карты с одинаковыми номерами равно:
$C_4^4*n*C_{4n-4}^1$
Осталось сложить эти два числа.

[Катрина]

Yntz и neo66 БОЛЬШОЕ спасибо за помощь...постараюсь разобраться!!!!!

[Катрина]

1/Сколькими способами можно переставить буквы в слове «информация» так, чтобы гласные и согласные буквы шли в алфавитном порядке?
2/Найти количество шестизначных чисел таких, что все цифры у них четные?
Ответ: 4 в степени 6=4096???
3/Сколькими различных четных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что цифры не могут повторяться?
4/Сколькими различными способами можно грани куба раскрасить в четыре цвета?
Ответ:С из 6 по 4=15???

[Trius]

2) Вроде бы должно быть $4\cdot 5^5$

[Катрина]

а почему именно 4*5 в степени 5?. Ведь у нас шестизначное число-т.е. число ,состоящее из 6 различных цифр. и каждая цифра должна быть четным числом, т.е. 2,4,6,8. и получается, что 4*4*4*4*4*4=4096.
А вы 0 отнесли к четным числам????
ААААААААААА!!!!!!
Т.е. получается, что 1 цифра-4 числа: 2,4,6,8,
2 цифра-5 чисел:0,2,4,6,8
.......
6 цифра-5 чисел: 0,2,4,6,8
Всего: 4*5 в степени 5 .
Я поняла!!!!!
Trius, большое Спасибо!!!!

Добавлено спустя 14 минут 7 секунд:

Постройте выигрывающие коалиции и вектор Шепли для кооперативной игры 4-х лиц, владеющих соответственно 5, 25, 30 и 40 акциями.
ОТвет: вектор Шепли=(0,1/3,1/3,1/3).

[Катрина]

2/Сколькими способами можно переставить буквы в слове «информация» так, чтобы гласные и согласные буквы шли в алфавитном порядке?
3/Сколькими различных четных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что цифры не могут повторяться?
4/Сколькими различными способами можно грани куба раскрасить в четыре цвета?
Ответ:С из 6 по 4=15???

Помогите пож. решить!

[нг]

Мы читали условия. Не нужно повторять.

[незваный гость]

Катрина писал(а):

4/Сколькими различными способами можно грани куба раскрасить в четыре цвет

Уточните условие: грани маркированы или нет? Все ли четыре цвета нужно использовать, или монотонный тоже считается одним из вариантов?
Ваш ответ скорее всего не верен: Существует по крайней мере 4 монотонных кубика и 12 почти монотонных (5 граней одного цвета и 1 другого). Уже насчитали больше...

[Катрина]

нужно обязательно использ. все 4 цвета

[Yntz]

Катрина писал(а):

2/Сколькими способами можно переставить буквы в слове «информация» так, чтобы гласные и согласные буквы шли в алфавитном порядке?

Количество перестановок 10 элементов, деленное два раза на количество перестановок 5 элементов:

$$\frac{10!}{5!5!}$$

Катрина писал(а):

3/Сколькими различных четных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что цифры не могут повторяться?

Количество выборок из 6 элементов по 3, умноженное на количество перестановок 3-х элементов, деленное на два:

$$\frac{C_6^3 * 3!}{2} $$

[незваный гость]

Катрина писал(а):

нужно обязательно использ. все 4 цвета

Я начну, Вы продолжите:
1) Поскольку все четыре цвета должны быть использованы, либо три грани одного цвета, либо есть две пары граней.

2) Три грани одного цвета могут располагаться либо леночкой, либо «шапочкой» (все вместе).

3) В случае ленточки, возможно три раскраски (разворот кубика сохраняющий ленточку на месте), умножить на выбор цвета ленточки, итого 12 кубиков.

4) В случае шапочки возможно две раскраски (у шапочки поворотная симметрия третьего порядка), итого 8 кубиков

…

[имя]

ваши задачи с www.problems.ru
решения за все годы там приведены.