Вопрос по доказательству теоремы.

[Anton_74]

В книге Дьяченко М.И. Мера и интеграл приводится теорема, по которой у меня есть вопрос.

Если функция $f(x)$ измерима и конечна на $(X,M,\mu)$, причем $f(x) \subseteq G \subseteq \mathbb{R}^1$, где $G$ - открытое множество, а функция $g(y)$ непрерывная на $G$, то супрепозиция $g(f(x))$ измерима на $(X,M,\mu)$.

$(X,M,\mu)$ - измеримое пространство.

Далее в доказательстве приводится следующее утверждение:

Прежде всего отметим, что функция $g(f(x))$ принимает только конечные значения.

Из чего это следует? Насколько я понимаю, если функция непрерывна на открытом множестве еще не следует, что она ограничена на нем.

[RIP]

Имеется в виду, что функция не принимает бесконечные значения $\pm\infty$.