В книге Дьяченко М.И. Мера и интеграл приводится теорема, по которой у меня есть вопрос.
Если функция

измерима и конечна на

, причем

, где

- открытое множество, а функция

непрерывная на

, то супрепозиция

измерима на

.

- измеримое пространство.
Далее в доказательстве приводится следующее утверждение:
Прежде всего отметим, что функция

принимает только конечные значения.
Из чего это следует? Насколько я понимаю, если функция непрерывна на открытом множестве еще не следует, что она ограничена на нем.