Гарасько использует технику комплексификации бесконечномерных групп Ли. Он применяет ее фактически к группе
. Насколько я понимаю состояние этой области, посмотрев несколько статей, с этим есть некоторые проблемы. В частности, для некоторых групп, похожих на эту (к примеру,
) вообще доказано, что комплексификаций для них не бывает.
Я так же подозреваю тут подвох и если обычная группа среди неких нелинейных симметрий
содержится, то это не конформные симметрии, а более сложные.
-- 25.04.2012, 02:10 --Цитата:
Вы мне не ответили, что такое метрический инвариант, только сказали, что в евклидовом случае это длина и угол. Если скажете определение, то, может быть, отвечу.
Так дать определение на пустом месте и есть самое сложное. Хотя потом кажется, что проще не бывает. Я дам не определение, а только идею, но из нее с почти очевидностью следует, что в
, кроме длин и углов есть третий метрический инвариант, а значит, еще один класс нелинейных преобразований. Подозреваю, что аналог группы Лоренца трехмерного псевдоевклидова прсотранства (она тут трехпараметрическая) как раз и является подгруппой этого третьего множества нелинейных симметрий. Уже без всяких подвохов.
Итак по поводу третьего инварианта.
В обычных геометриях длина и угол являются прямыми следствиями фундаментального объекта квадратичных геометрий - скалярного произведения двух векторов. Квадрат длины получается при подстановке в скалярное произведение дважды одного и того же вектора, а некая функция угла - при подстановке двух разных единичных векторов.
В пространстве
роль скалярного произведения принимает на себя определенная симметрическая трилинейная форма от трех векторов. Отсюда очевидно, что и базовых параметров может быть три: для фигур и одного, двух и трех векторов. О деталях сейчас не буду. Важно, что третий инвариант есть и он связан с трехлинейной симметрической формой от трех разных векторов. Почти очевидно, что преобразования рассматриваемого пространства, оставляющие инвариантным этот третий базовый метрический параметр, будут образовывать более широкое множество (причем не факт, что тривиальное), чем обычные изометрические и конформные преобразования, которые будут его подмножествами.
Я помню Ваше скептическое отношение к широкому разнообразию групп непрерывных симметрий у различных пространств, но все же надеюсь, что Вы хоть как то прокомментируете, и предположение о третьем инварианте, и связанные с ним преобразования, и их возможные последствия для геометрии и физики.. Тем более, что в четырехмерном пространстве их может оказаться несколько больше..