Уравнения с бесконечным множеством решений ("Квант")

[Ktina]

Пусть $p_n$ - простое число, порядковый номер которого равен $n$.
Доказать, что для каждого $n\in\mathbb N$ уравнение $x_1^{p_1}+x_2^{p_2}+\dots +x_n^{p_n}=x_{n+1}^{p_{n+1}}$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

[Dave]

При $n=1$ решениями будут пары $(x_1,x_2)=(a^3,a^2)$, где $a$-любое натуральное число.
Если же $n>1$, то, обозначив $q=\prod\limits_{i=1}^n p_i$ и учитывая, что числа $q$ и $p_{n+1}$ взаимно просты, получим что уравнение

$$qx+1=p_{n+1}y \eqno(1)$$

имеет бесконечное множество решений $(x,y)$ в натуральных числах $x$ и $y$. Каждой же паре решений $(1)$ соответствует следующее решение исходного уравнения:

$$x_i=n^{x \frac q {p_i}}, \, i=\overline{1,n}, \quad x_{n+1}=n^y.$$

[temp03]

Интересно! Найдите решение уравнения $x^2+y^3+z^5=p^7$ или даже $x^2+y^3=z^5$ если $(x,y)=1$.

-- Ср апр 25, 2012 00:12:09 --

$243+100=343$