2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения с бесконечным множеством решений ("Квант")
Сообщение24.04.2012, 20:19 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Пусть $p_n$ - простое число, порядковый номер которого равен $n$.
Доказать, что для каждого $n\in\mathbb N$ уравнение $x_1^{p_1}+x_2^{p_2}+\dots +x_n^{p_n}=x_{n+1}^{p_{n+1}}$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с бесконечным множеством решений ("Квант")
Сообщение24.04.2012, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
При $n=1$ решениями будут пары $(x_1,x_2)=(a^3,a^2)$, где $a$-любое натуральное число.
Если же $n>1$, то, обозначив $q=\prod\limits_{i=1}^n p_i$ и учитывая, что числа $q$ и $p_{n+1}$ взаимно просты, получим что уравнение $$qx+1=p_{n+1}y \eqno(1)$$имеет бесконечное множество решений $(x,y)$ в натуральных числах $x$ и $y$. Каждой же паре решений $(1)$ соответствует следующее решение исходного уравнения: $$x_i=n^{x \frac q {p_i}}, \, i=\overline{1,n}, \quad x_{n+1}=n^y.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с бесконечным множеством решений ("Квант")
Сообщение24.04.2012, 23:07 
Заблокирован


16/06/09

1547
Интересно! Найдите решение уравнения $x^2+y^3+z^5=p^7$ или даже $x^2+y^3=z^5$ если $(x,y)=1$.

-- Ср апр 25, 2012 00:12:09 --

$243+100=343$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group