Волновое уравнение методом Фурье

[alexandra555]

Решить методом Фурье волновое уравнение на заданном отрезке с граничными условиями $V(0,t)=V(l,t)=0$ и заданными начальными условиями

$$V''_{tt} = 9V''_{xx};\quad V(x,0)=\left\{\begin{array}{cl} \frac {3x}{40}, & 0 \le x < 4;\\ \frac {3(8-x)}{40}, & 4 \le x \le 8;\end{array}\right.\qquad V'_t(x,0)=0. $$

Подскажите, пожалуйста, как решать

Такой ход решения насколько верен?

$$ U(x,t)= \sum^{\propto}_{n=1} U_{n} (x,t) = \sum^{\propto}_{n=1} (A_{n} \cos {\frac {n \pi a t}l} + B_{n} \sin {\frac {n \pi a t}l}) \sin {\frac {n \pi x}l}$$

где

$$A_{n}=\frac {2}l \int_{0}^{l} \varphi (x) \sin {\frac {n \pi x}l} dx$$

$$B_{n}=\frac {2}{n \pi a} \int_{0}^{l} \psi(x) \sin {\frac {n \pi x}l} dx$$

Из начального условия $\psi(x)=0$, тогда $B_{n}=0$

$$A_{n}=\frac {2}8 \int_{0}^{4} \frac{3x}{40} \sin {\frac {n \pi x}8} dx + \frac {2}8 \int_{4}^{8} \frac{3(8-x)}{40} \sin {\frac {n \pi x}8} dx$$

alexandra555,

Ваше мудрёное

 [math]V''_{tt}[/math] = [math]9V''_{xx}[/math] ;  [math]V(x,0)=\begin{cases} \frac {3x}^{40} &\text{ $0 \le x < 4$;}\\ \frac {3(8-x)}^{40} &\text{ $4 \le x \le 8$;}\\\end{cases}[/math] ; [math]V'_{t}[/math](x,0)=0

должно выглядеть хотя бы так:

$$V''_{tt} = 9V''_{xx};\quad
V(x,0)=\begin{cases} \frac {3x}{40},\quad 0 \le x < 4;\\ \frac {3(8-x)}{40},\quad4 \le x \le 8;\end{cases}\qquad V'_t(x,0)=0.$$
% \quad --- это длинный пробел 

(Вместо cases я использовал array). И дроби Вы странно пишете, со значком ^...

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Чтобы оттуда выбраться

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите свои попытки решения задачи.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Вернул.

[alexandra555]

Проверьте, пожалуйста решение!

У меня получилось так: A_{n}= \frac {12}{5 n^2 \pi^2} \sin \frac {n \pi}2

при чётном n = 2k;A_{2k}=0

Подскажите, пожалуйста, для n нечётного n = 2k+1 чему равно А?

Так правильно? A_{2k+1}= \frac {12(-1)^k}{5 \pi^2 (2k+1)^2}

$$U(x,t)= \sum^{\propto}_{n=1} \frac {12(-1)^k}{5 \pi^2 (2k+1)^2} \cos \frac{9}8 (2k+1) \pi t \sin \frac{2k+1}8 \pi x