Интересный трёхчлен

[Ktina]

Известно, что при некотором вещественном $x$ выполняется $289|x^2-3x-19$
Может ли $x$ быть

а) рациональным числом?

б) целым числом?

[ewert]

Перебор. Может.

[Ktina]

ewert в сообщении #563329 писал(а):

Перебор. Может.

Тогда назовите попытайтесь назвать хотя бы одно целое число, удовлетворяющее условию.

[ewert]

6

[gris]

По-моему это трёхчлен должен делиться нацело на 289?

[Shadow]

gris в сообщении #563341 писал(а):

По-моему это трёхчлен должен делиться нацело на 289?

По моему тоже. Вряд ли задача сводится к решениу уравнений $x^2-3x-19=\pm 1,\pm 17,\pm 289$

[Ktina]

ewert в сообщении #563340 писал(а):

6

$6^2-3\cdot 6-19=36-18-19=-1$
-1 не делится на 289 (вернее, делится, но не нацело).

-- 24.04.2012, 10:38 --

gris в сообщении #563341 писал(а):

По-моему это трёхчлен должен делиться нацело на 289?

Разве $a|b$ имеет другие значения?

-- 24.04.2012, 10:38 --

Shadow в сообщении #563344 писал(а):

gris в сообщении #563341 писал(а):

По-моему это трёхчлен должен делиться нацело на 289?

По моему тоже. Вряд ли задача сводится к решениу уравнений $x^2-3x-19=\pm 1,\pm 17,\pm 289$

Не сводится, но она несложная.

[gris]

Ktina, если это могло кому-то показаться, то это так оно и есть.
Тогда надо проверить, может ли $D=9+19\cdot 4-4\cdot289\cdot k$ быть а) полным квадратом б) полным нечётным квадратом при некотором целом $k$.
Но чётным оно быть не может, так что если $x$ рациональное, то оно целое (или целый? кстати...)
Предлагаю компромисс, чтобы голову не ломать. Решаем задачу $291|x^2-3x-19$ и находим сразу несколько целых решений, например, 76. Далось Вам это 289.

+++ На самом деле задача симпатишная, только число 289 сильно намекает. Зайцы первые 20 квадратов хорошо знают.

[Shadow]

Мда....уравнение $85+34^2k=t^2$ не имеет решений, т.к левая часть делится на 17 и не делится на $17^2$. И замена $t=\frac p q$ мало что меняет....

-- 24.04.2012, 12:47 --

это я про замену глупость написал

[temp03]

Shadow в сообщении #563370 писал(а):

это я про замену глупость написал

Почему?

[Shadow]

Потому что если к целое, $85+34^2k$ не может быть нецелым

[Ktina]

gris в сообщении #563353 писал(а):

Ktina, если это могло кому-то показаться, то это так оно и есть.
Тогда надо проверить, может ли $D=9+19\cdot 4-4\cdot289\cdot k$ быть а) полным квадратом б) полным нечётным квадратом при некотором целом $k$.
Но чётным оно быть не может, так что если $x$ рациональное, то оно целое (или целый? кстати...)
Предлагаю компромисс, чтобы голову не ломать. Решаем задачу $291|x^2-3x-19$ и находим сразу несколько целых решений, например, 76. Далось Вам это 289.

+++ На самом деле задача симпатишная, только число 289 сильно намекает. Зайцы первые 20 квадратов хорошо знают.

(Оффтоп)

+++А если я знаю первые 100, кто я?

Пункт б) решается чересчур легко.
Предположим, что $x$ - целое число. Тогда $289|x^2-3x-19\to x(x-3)\equiv 2 (mod 17)$. Но последнее возможно только тогда, когда $x$ даёт остаток 10 при делении на 17. Но тогда $(17k+10)(17k+7)-19=289k^2+289k+51$. Стало быть, на 289 не делится.

[gris]

(Оффтоп)

Коза, конечно. В хорошем смысле

Ну восьмиклассник бы стал решать квадратное уравнение, раз надо икс найти, и уткнулся бы в дискриминант. А там 17 явно вылезает и из 85, и из 289.

[Shadow]

(Оффтоп)

Что-то недоброе таится в мужчинах, избегающих вина, игр, общества прелестных женщин, застольной беседы. Такие люди или тяжело больны, или втайне ненавидят окружающих.
Воланд